初中数学5 三角函数的应用获奖教案

九年级数学  上册

第二章 第5节 《三角函数的应用》----坡度问题

【教学目标】

1. 知识与技能：

熟练应用锐角三角函数有关知识解决问题，学会解决有关坡角、坡度的问题。

2. 过程及方法：

掌握坡度与坡角的关系，经历利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题的过程。

3. 情感、态度与价值观：

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步渗透数形结合、建模等数学思想和方法．渗透数学来源于生活又反过来作用于生活的辩证唯物主义观点．

【教学重点】

理解坡度和坡角的概念，能熟练运用三角函数知识解决有关坡度、坡角的实际应用问题．

【教学难点】

提高分析问题、解决问题的能力，利用数形结合思想、转化思想，通过建立模型，解决有关坡度、坡角的实际问题。

【教学方法】

启发引导与学生自主探究、小组内同伴互助相结合

【教具准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

（一）．图片导入

（师）堤坝、水渠、燕尾槽，在我们的日常生活中随处可见，斜坡也时常出现在我们的视线里，这节课我们就一起来学习有关“坡度”“坡角”的知识，以便更好地解决堤坝类的相关实际应用问题。

<设计意图：通过学生熟悉的场景，展示了坡度、坡角的问题在生活中随处可见，因此学生深刻地体会到数学来源于生活最终是要服务于生活，为本节课的知识方法的学习埋下了伏笔。>

二、知识重现，温故知新

（师）在本章学习“正切”这一三角函数的时候，曾经提到过坡比，一起来回顾一下相关知识：（师画图、板书重点，多媒体出示相关知识点）

1、坡角

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。

2、坡度（或坡比）

如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,，坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6.

3、坡度与坡角的关系 ：坡度等于坡角的正切值

师生共同观察板书图形和知识点，引导学生观察，坡角、坡度其实和直角三角形有着非常密切的关系，因此，解决此类问题需要建立模型，提炼出基本几何图形，从而发现数形结合的思想广泛地应用于实际应用问题的有效解决中。

<设计意图：此环节带领学生温故知新，深刻领悟数学与生活的紧密联系，在上节课的基础上学生很容易就会发现和体会数形结合的思想的重要性。>

三、牛刀小试、巩固知识

出示问题，学生自己分析、验算，班内交流自己的分析过程。

⑴、如图一个斜坡坡度为1 :1,则这个坡角为           。

⑵、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为               ；      

⑶、等腰梯形的较小底长为3，腰长为5，高为4，则另一个底长为      ，坡比为              。

<设计意图：此环节让学生将刚刚学习的基本知识加以练习，进一步理解概念、熟悉知识，体会数形结合思想在解决问题时发挥的重要作用。>

四、典例示范，学习新知

（师）数学问题来源于生活，如果你能拥有一双能从数学视角观察生活的眼睛，拥有一个能用数学思维思考生活的头脑，那么，接下来的问题就会迎刃而解了。

1、多媒体出示教材“想一想”

水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶BC=6m，坝高22m，斜坡AB的坡比i=1∶3，斜坡CD的坡比i=1∶2.5，求：

   （1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）

   （2）斜坡AB的坡角α。

   （3）修建长1500m的大坝共需多少土石方？

2、（生）自主探究、独立分析，寻找解决问题的思路和方法。

3、（生） 班级内分享自己寻找的解决问题的方法和思路。

分析：（1）由坝高和坡比i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C作AD的垂线。

（2）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。

4、学生口述，教师板书解题过程，强调解题过程的严密性、基本书写步骤和环节。

5、多媒体出示解决此类问题的方法总结，师板书关键词

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题;

懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形和梯形来解决.

<设计意图：数形结合思想的准确应用，能更好地建立数学模型，让学生能准确的找准问题的切入点，结合所学知识，学生进一步理解了有关坡比问题的解决思路和方法，能够灵活应用梯形的基本知识解决此类应用问题。>

五、尝试反馈，巩固练习

学生完成课本第51页第2题，指生板演，共同订正，进一步规范解题格式。

<设计意图：巩固训练，让学生独立完成应用问题的具体解题步骤，规范解题格式。>

六、尝试反馈，提高能力

（师）通过刚才的学习和训练，同学们基本掌握了有关坡度问题的解题方法和技巧，接下来请思考并分析以下问题：

1、多媒体出示课本“做一做”

某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，坡角∠BAD=68°，为了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。

如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗？

（参考数据：sin68°≈0.927  cos68°≈0.373   tan68°≈2.48， sin58°12'≈0.85，  tan49.34°≈1.165）

2、（生）自主探究、独立分析，寻找解决问题的思路和方法。

3、（生） 小组内交流、展示，共同探究解题的关键点及如何突破。

4、（生）班级内分享自己寻找的解决问题的方法和思路。

5、（生）独立完成解题过程，注意运算的准确率，指生板演，共同订正。

七、回顾总结，提炼升华

师：这节课你有什么收获？还有哪些困惑？

师：同学们回答的都很好，利用解直角三角形的知识解决实际问题时的基本步骤（多媒体出示）：

1.将实际问题抽象为数学问题。（画出示意图，转化为解直角三角形的问题）；--建立模型

2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数解直角三角形。--数形结合的思想

3.得到数学问题的答案；

4.得到实际问题的答案。

<设计意图：在学生反思回顾、总结提升的基础上，教师强调解决实际应用问题时学生要理解的建立模型、数形结合等等基本数学集体思想和方法，提高了思维分析能力和解决问题的能力。>

八、布置作业，巩固提升

课本49页  随堂练习 1

课本50页   习题 2

九、教师赠言

在科学上，从没有平坦的大道，只有不畏艰险勇于攀登的人，才能达到光辉的顶点。