鲁教版 (五四制)九年级上册3 二次函数y=ax2的图象和性质优秀教案设计

二次函数y=ax2的图象和性质

一、教学目标

1．会用描点法画出二次函数的图象，并根据图象归纳其性质．

2．经历探索二次函数的图象和性质的过程，体会类比、数形结合和归纳的思想．

3．通过自主探究，提高自主学习的能力．在合作与交流活动中，发展合作意识，获得自信、成功的体验．

二、重难点

重点：二次函数的图象和性质．

难点：探索二次函数的图象和性质．

三、教学过程

（一）引课

投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，喷泉喷出的水珠的轨迹，海豚跳水的表演，桥拱的截面图，都给我们抛物线的印象．

一名运动员推铅球，铅球刚出手时距离地面米，当球出手后与运动员水平距离为4米时球达到最大高度3米．球在空中的运动路线为抛物线的一部分，铅球行进的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的关系式为：．教师用几何画板画出该二次函数的图象．二次函数的图象都是类似这样的抛物线吗？我们将从最简单的二次函数开始，先研究二次函数的图象和性质，再逐步深入地讨论一般二次函数的图象与性质．

（二）新知

活动一：

1．在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象．

活动要求：学生先独立用描点法画图象，再小组交流，发现作图中存在的问题．

此时教师关注学生列表时能否选取适当的自变量的值；图象的形状不明确时学生是否知道通过加密点来画图；连线时是否用平滑的曲线；画出的图象是否向上延伸等．

学生作图反馈：教师应用希沃授课助手实现手机与电脑同屏或用实物投影将学生作图中出现的典型问题进行展示，让学生修正或补充．

2．根据二次函数的图象，回答下列问题：

（1）你能描述图象的形状吗？

（2）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对应点．

（3）指出图象与对称轴的交点，它是图象的最高（低）点？

（4）从图象上看，函数y随自变量x的增大是如何变化的？

活动要求：学生观察图象，先独立思考，然后举手发言，互相补充．

归纳：

二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上．二次函数的图象叫做抛物线．y轴是抛物线的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点．

从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．

活动二：

在同一直角坐标系中，画出函数，的图象，并与函数的图象相比，回答下列问题：

（1）三个函数的图象有什么共同点和不同点？

（2）当a＞0时，二次函数的图象有什么特点？

（3）从图象上看，函数y随自变量x的增大是如何变化的？

活动要求：学生先独立用描点法画图象，再进行小组讨论，然后个人举手发言，互相补充完善．

归纳：

（1）共同点是开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小．

（2）一般地，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．

（3）当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．

活动三：

1．在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象，观察它们的图象，并回答下列问题：

（1）三个函数的图象有什么共同点和不同点？

（2）当a＜0时，二次函数的图象有什么特点？

（3）从图象上看，函数y随自变量x的增大是如何变化的？

活动要求：学生先独立用描点法画图象，再观察图象，积极思考，然后个人发言，互相补充完善．

归纳：

（1）共同点是开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，x2的系数越小，抛物线的开口越小．

（2）一般地，当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．

（3）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．

2．你能归纳一下二次函数的图象和性质吗？

活动要求：学生先独立思考，再进行小组讨论，然后小组展示、质疑并补充．

教师引导学生先找共同点，再找不同点，不同点再就a＞0和a＜0两种情况进行考虑．

总结归纳：

一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线，越大，抛物线的开口越小．

从二次函数的图象可以看出：如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．

活动四：

在同一直角坐标系中，教师用作图软件画出二次函数和的图象，学生观察图象，回答下列问题：

（1）两个函数的图象有什么相同点和不同点？

（2）将二次函数的图象沿x轴折叠，能与二次函数的图象重合吗？

活动要求：学生观察图象，积极思考，举手发言，互相补充．

归纳：二次函数与的图象的相同点是对称轴是y轴，顶点是原点，开口大小相同；不同点是开口方向不同，函数y随自变量x增大的变化趋势不同．

二次函数与的图象关于x轴对称．

拓展：在同一直角坐标系中，二次函数与的图象关于x轴对称．

（三）练习

★1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ）

A．抛物线的开口向上且关于y轴对称

B．顶点是抛物线的最低点

C．在y轴左侧，y随x的增大而增大

D．它与二次函数的图象关于x轴对称

★2．在同一直角坐标系中，画出二次函数①，②，③的图象，则三条抛物线对应的函数从里到外依次是（填序号）___________．

★★3．当______时，二次函数的图象的开口向下．

★★4．已知点A（，），B（，）为二次函数图象上的两点．若＞＞0，则，的大小关系是___________．

（四）小结

1．知识方面

（1）会用描点法画出二次函数的图象.

（2）二次函数的图象和性质.

（3）在同一直角坐标系中，二次函数与的图象关于x轴对称．

2．思想方法方面

像研究一次函数一样，按照从简单到复杂、从特殊到一般的顺序，经历画图、观察、思考、归纳的过程，探究了二次函数的图象和性质，进一步体会类比、数形结合和归纳的思想．

（五）作业

★1．抛物线不具有的特征是（    ）

A．开口向下             B．对称轴是y轴   

C．与y轴不相交         D．最高点是原点

★★2．已知点（-1，），（2，），（-3，）都在函数的图象上，则，，的大小关系为___________．

★★3．如图，⊙O的半径为2，是函数

的图象，是函数的图象，则阴影部分的

面积是___________．

★★4．已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，求m的值．

★★★5．在同一坐标系中，与（a≠0）的图象大致是（    ）