华师大版九年级上册3. 相似三角形的性质导学案及答案

教学目标

1.掌握相似三角形对应高 、对应角平分线、对应中线、周长、面积的性质.

2.能利用相似三角形的性质解决实际问题.

教学重难点

重点：掌握相似三角形对应高 、对应角平分线、对应中线、周长、面积的性质.

难点：能利用相似三角形的性质解决实际问题.

教学过程

复习巩固

1.什么叫相似三角形？

对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.

2.什么叫相似比？

相似三角形对应边的比叫做相似比.

3.判定三角形相似的方法：（1）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.

（2）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.

判定定理2：两边成比例且夹角相等的的两个三角形相似.

判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.

4.相似三角形的性质：

相似三角形的对应边成比例，对应角相等，

相似比等于对应边的比.

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

一个三角形中三类重要线段：高、中线、角平分线.

思考：如果两个三角形相似，除了对应边成比例，对应角相等外，那么这些对应线段有什么关系呢？相似三角形还有哪些性质呢？

教师引出课题：23. 3　相似三角形

3　相似三角形的性质

探究新知

探究点一　相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比

【问题2】

活动2（小组讨论，师生互学）

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？

【解】如图，分别作出 △ABC 和 △A′B′C′的高 AD 和 A′D′.

则∠ADB ＝∠A′D′B'＝90°.

∵ △ABC ∽△A′B′C′，

∴ ∠B＝∠B′，

∴ △ABD ∽△A′B′D′（两角对应相等的两个三角形相似） .

∴ ＝k.

【结论】

相似三角形的对应边上的高的比等于相似比.

类似地，可以证明相似三角形对应边上的中线，对应角的平分线之比也等于相似比.

因而，相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比.

一般来说，相似三角形对应线段的比等于相似比.

活动3（学生交流，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例1　已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别为对应角的平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm.求EH的长.

【探索思路】（引发学生思考）根据相似三角形对应边的比等于对应角平分线的比，列出比例式，从而求出线段EH的长.

【解】∵ △ABC∽△DEF，

∴ （相似三角形对应角平分线的比等于相似比），

∴ ，解得EH＝3.2（cm），

即EH的长为3.2 cm.

【即学即练】（师生互动）

1.一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（    ）

A.18　　　　B.12　　　C.24　　　D.30

【解析】设这个多边形的最长边是x，则， 解得x＝18.故选A.

【答案】A

探究点二　相似三角形周长的比

【问题3】

活动4　（小组讨论，师生互学）

思考：如果两个三角形相似，那么它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？

如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应周长的比是多少？

【解】因为 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，

所以，

因此AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，

从而

.

所以△ABC与△A'B'C′的周长比等于相似比.

【结论】

相似三角形周长的比等于相似比.

【即学即练】

2.已知△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的周长的比为（    ）

A.3∶4　　　　B.4∶3　　　　C.9∶16　　　　D.16∶9

【解析】∵ △ABC∽△DEF，且相似比为3∶4，

又∵ 相似三角形的周长比等于相似比，

∴ 它们的周长比为3∶4.

【答案】A

探究点三　相似三角形面积的比

【问题4】

活动5　（小组讨论，师生互学）

思考：两个相似三角形的面积的比与相似比之间有什么关系呢？

如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应面积的比是多少？

【解】如图，分别作出△ABC 和△A′B′C′的高 AD 和 A′D′.

由前面的结论，我们有

【结论】

相似三角形面积的比等于相似比的平方.

活动6（学生交流，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例2　已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.

（1）求△DEF的周长；

（2）求△DEF的面积.

【探索思路】已知相似三角形的对应边的比，然后根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列式计算即可.

【解】（1）∵ △ABC∽△DEF， ＝，∴ △DEF的周长＝12× ＝8（cm）.

（2）∵ △ABC∽△DEF，＝，∴ △DEF的面积＝30× ＝（cm2）.

活动7　拓展延伸（学生对学）

例3　如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上.已知BC＝40 cm，AD＝30 cm .

（1）求证：△AEH∽△ABC.

（2）求这个正方形的边长与面积.

【探索思路】（1）利用平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似直接证得结论成立.

（2）根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，面积比等于对应边的平方比可求解

（1）【证明】∵ 四边形EFGH是正方形， ∴ EH∥FG，即 EH∥BC，

∴ △AEH∽△ABC.

（2）【解】如图，HE与AD交于点P，由（1）知△AEH∽△ABC，∴ .

∵ AD是BC边上的高，∴ 四边形EFDP是矩形，∴ PD＝EF.

∵ EF＝FG＝GH＝EH， ∴ AP＝AD-PD＝AD-EF＝AD-EH.

∴ .解得EH＝（cm），∴ EH2＝＝（cm2）.

∴ 这个正方形的边长为cm，面积为.

【题后总结】（学生总结，老师点评）解决此类问题的关键是：利用观察法和图形的性质找出隐含条件（如公共角、公共边等）以及相似三角形的对应边，利用相似三角形的性质及正方形的面积公式求出相关的线段，从而使问题得到解决.

课堂练习

1. 如图所示，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（    ）

A.　　　B.　　　C.　D.

2.如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则∶＝（    ）

A.1∶16　　　　　B.1∶18　　　　　C.1∶20　　　　D.1∶24

3.在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.

4.如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于多少？（结果保留根号）

参考答案

1. C　【解析】∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC，∴.

∵，∴.故A，B选项均错误.

∵ △ADE∽△ABC，

∴.故C选项正确，D选项错误.

2.C　【解析】∵ S△BDE∶S△CDE＝1∶4，

∴ 若设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a.

∵ △BDE中BE边上的高和△CDE中EC边上的高都是点D到BC的距离，

∴，∴.

∵ DE∥AC，∴ △DBE∽△ABC，∴ ∶＝1∶25，

∴＝25a4a＝20a，∴∶＝a∶20a＝1∶20.

3.【解】∵ DE∥BC，EF∥AB，

∴ △ADE ∽△ABC，∠ADE ＝∠EFC，∠A ＝∠CEF，

∴ △ADE ∽△EFC.

又∵ S△ADE ∶ S△EFC ＝ 4∶ 9，

∴ AE∶EC＝2∶3，

则 AE∶AC ＝2∶5，

∴ S△ADE∶S△ABC ＝ 4 : 25，∴ S△ABC ＝ 25.

4.【解】∵ AB＝2AD，∴ ＝2.

又∵ △ABC∽△ADE，△ABC的面积为，

∴ ＝ ＝22＝4，∴ S△ADE＝.

∵ △ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，

∴ △ADE也是等边三角形，其面积为AE·AE·＝，

即AE2＝，∴ AE＝1.

如图，过点F作FG⊥AE于点G.

∵ ∠BAD＝45°，∠BAC＝∠EAD＝60°，

∴ ∠EAF＝45°，

∴ △AFG是等腰直角三角形.

设AG＝FG＝h，则EG＝1-h.

在Rt△FGE中，∵ ∠E＝60°，FG＝h，

∴ ∠EFG＝30°，∴ FG＝EG＝h，

∴  EG＝h，∴ 1- h＝ h.解得h＝，

∴ S△AEF＝×1×＝.

课堂小结

 （学生总结，老师点评）

相似三角形的性质：

1.相似三角形对应边成比例，对应角相等.

2.相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角平分线的比都等于相似比.

3.相似三角形周长的比等于相似比.

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.

布置作业

教材第72页练习题第1，2，3题.

板书设计

课题　23.3　相似三角形

3　相似三角形的性质

【问题】　　　　　　　　　　例1　

相似三角形的性质　　　　　  例2

1.相似三角形对应边成比例，对应角相等.

2.相似三角形对应线段的比等于相似比.

3.相似三角形周长的比等于相似比.

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.

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