2022届湖北省黄石市大冶市第一中学高三下学期高考适应性考试数学试题含解析

2022届湖北省黄石市大冶市第一中学高三下学期高考适应性考试数学试题

一、单选题

1．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数 （     ）

A．  B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义及对称性，得出复数，再利用复数的除法法则即可求解.

【详解】由题意知，复数在复平面内对应的点，

因为复数，在复平面内对应的点关于轴对称，

所以复数在复平面对应的点为，即，则

，

故选：C．

2．命题:“”的否定为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．

【详解】解：命题“”是全称命题，则命题的否定是特称命题

即，

故选：．

【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题．

3．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合的补集，化简集合，再根据交集的概念可求出结果.

【详解】因为，所以，

又,

所以.

故选：B

4．函数在区间[－，]上的图像大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用的奇偶性和函数值的特点可选出答案.

【详解】因为，所以f（x）为偶函数，其图像关于y轴对称，排除A项；

当时，，排除D项；

因为，，所以，排除C项，

故选：B．

5．设均为非零向量，且，，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量垂直可求得，利用向量夹角公式可求得结果.

【详解】由得：，，

，又，.

故选：C.

6．若，则（       ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】令，得，再令，即可求解．

【详解】令，代入得，令，得，所以.

故选：B.

7．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，将地球看作一个球，卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆盖的范围即为一个球冠，称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积．球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得较短的一段叫做球冠的高．设球面半径为R，球冠的高为h，则球冠的表面积为．已知一颗地球静止同步通信卫星距地球表面的最近距离与地球半径之比为5，则它的信号覆盖面积与地球表面积之比为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合图形求出，进而利用表面积公式即可求出结果.

【详解】如下截面图，

若O为球心，P为卫星位置，故，，，所以，所以，即，所以．

故选：D.

8．如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，

以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解.

【详解】设 ，则 ，

由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，

连接 ，则有 ，

由于 在以AD为直径的圆周上， ，

∵ABCD为平行四边形， ， ，

在直角三角形 中，， ，

解得： ， ；

在直角三角形 中， ， ，

得 ， ，

故选：D.

二、多选题

9．下列说法中，正确的命题是（       ）

A．已知随机变量X服从正态分布N（2，），P（X<4）=0.8，则P（2<X<4）=0.2

B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y=+，若=1，=3，则=1

D．若样本数据2+1，2+1，……，2+1的方差为8，则数据，…，的方差为2

【答案】CD

【分析】利用正态分布的对称性可以求得的值，进而判定A错误，根据相关系数的意义可以判定B错误，利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C正确，利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据，，…，的方差，进而判定D正确.

【详解】A. 已知随机变量服从正态分布，，则，所以，

所以,

∴，故A错误；

B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；

C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C正确；

D. 设数据，，…，的方差为,样本数据，，…，的方差为8，则，即数据，，…，的方差为2，故D正确.

故选：CD.

10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（       ）

A．函数的图像关于点中心对称

B．函数的图像关于直线对称

C．函数在上单调递减

D．函数的图像向右平移个单位可得函数的图像

【答案】AB

【分析】根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.

【详解】由图象得函数最小值为，故，

，故，，

故函数，

又函数过点，故，解得，

又，即，故，

对称中心：，解得，对称中心为，当时，对称中心为，故A选项正确；

对称轴：，解得，当时，，故B选项正确；

的单调递减区间：，解得，又，故C选项不正确；

函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，故D选项不正确；

故选：AB.

11．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（　　）

A．直线与圆相交 B．若点到直线的距离为3，则点有2个

C．的最小值是 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是

【答案】BC

【分析】利用圆心到直线的距离判断A选项；通过判断BC选项；通过勾股定理计算切线长判断D选项.

【详解】圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，

故直线与圆相离，A错误；的最小值是5-4=1，最大值是5+4=9，故点到直线的距离为3时，点有2个，B正确，C正确；

设点向圆引切线，，最小时，即最小，的最小值为圆心到直线的距离，

此时，D错误.

故选：BC.

12．给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】通过计算求出的值，运用归纳法得到之间的关系，最后根据等比数列的定义和前n项和公式进行求解判断即可.

【详解】由题意得：，

所以有，因此选项AB不正确；

，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，因此有，因此选项C正确；

，所以选项D正确，

故选：CD

【点睛】关键点睛：通过计算得到是解题的关键.

三、填空题

13．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.

【答案】

【分析】由圆台的表面积公式计算．

【详解】由题意该圆台的表面积为．

故答案为：．

14．曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】利用导数求出切线的斜率，可得出所求切线的点斜式方程．

【详解】由，，则切线的斜率为．

所以曲线在点处的切线方程为：

，即．

因此所求切线的方程为．

故答案为：．

15．某社区将招募的5名志愿者分成两组，要求每组至少两人，分别担任白天和夜间的网格员，则不同的分配方法种数为_____________．

【答案】20

【分析】利用组合分组分配求解.

【详解】解：由两人担任白天网格员有种，

由三人担任白天网格员有种，

所以共有种，

故答案为：20

16．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】将已知不等式变形整理，构造新函数h（t）=tet，求导分析单调性，将原不等式通过单调性转化为含a的恒成立问题，求解即可.

【详解】易知，将原不等式变形：，

，可得，

即，其中.

设，则，原不等式等价于.

当时，原不等式显然成立；

当时，因为在上递增，

恒成立，

设，则，所以在递减，递增，

所以的最小值为，故.

故答案为：

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

四、解答题

17．已知数列的前n项和为，，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据以及可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的、写出数列的通项公式即可.

（2）有题意可知，然后根据裂项求和即可求得.

【详解】(1)解：由题意得：

由题意知，则

又，所以是公差为2的等差数列，则；

(2)由题知

则

18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

(1)求A；

(2)若点D在BC边上，AD平分BAC，且，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出角即可；

（2）利用角平分线分三角形面积等于两个小三角形面积之和得出等式，再用余弦定理联立求解周长即可.

【详解】(1)由正弦定理得，

在中，，

化简为，又，

，又

；

(2)依题意得，

即，

由余弦定理得，

，解得

的周长为.

19．如图，是边长为的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是的中心，以EF为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且平面ABC．

(1)证明：；

(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，依题意可得，再由线面垂直得到，从而得到平面，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；

【详解】(1)证明：连接，由为等边三角形，为的中点，所以，

由平面，平面，所以，

又，平面，所以平面，

又平面，所以；

(2)解：依题意，，在中，，

以为坐标原点，以为轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，由（1）可知，是平面的一个法向量，

设平面的法向量为，则，令，则，

所以，所以

所以平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值为；

20．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的．

(1)A省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门参加选择性考试．求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率；

(2)B省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门．

①求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率；

②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选历史的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)①②分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）首先求出“选择物理”的概率，再求出“选择化学”的概率，利用条件概率的计算公式求解即可；

（2）利用相互独立事件的概率求法求①；根据条件确定随机变量的可能取值，分别求出概率，列分布列，运用期望公式求出期望.

【详解】(1)“选择物理”记作事件，“选择化学”为事件，则

，，则.

(2)对于①，“选择物理”记作事件，“选择化学”记作事件，则

，

事件与事件相互独立，则；

对于②，随机变量可以取0，1，2，3.

，，

，，

随机变量的分布列为

.

21．已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点．

(1)求双曲线C和抛物线E的方程；

(2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）代入点结合双曲线的实轴长为2可得双曲线方程，根据抛物线的准线方程可得抛物线方程；

（2）设直线方程为，，根据导数的几何意义求得切线的方程，联立可得的坐标，再代入双曲线方程，结合面积表达式求解范围即可

【详解】(1)由题，，又点在双曲线上，故，解得，

故双曲线方程为；

又点过抛物线的准线，故，即，

故

(2)显然直线斜率存在，故设直线方程为，，

联立有，

故，又，，

故切线 ，结合整理得，

同理切线，

联立解得，即，故.

又

，且，即，故，

又在双曲线上故，故，

故面积的取值范围为

【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线方程的求解，同时也考查了联立直线与圆锥曲线，利用韦达定理化简并表达面积的问题，同时也考查了求导求切线方程的方法与面积的范围问题等，属于难题

22．已知函数，其中e是自然对数的底数.

(1)若时，试判断f（x）在区间（，0）的单调性，并予以证明；

(2)从下面两个条件中任意选一个，试求实数a的取值范围.

①函数在区间[0，]上有且只有2个零点；

②当时，.

【答案】(1)f（x）在（，0）上单调递增，证明见解析；

(2)选择①：；选择②：.

【分析】（1）求导，通过判定导函数在（，0）上的正负确定单调性；

（2）选择①：易得，则因此f（x）在上有且只有1个零点，求导通过讨论找出符合条件的a的取值范围；

选择②：构造函数，此时，可通过端点效应或隐零点等思路求a的取值范围.

【详解】(1)当时，

.

当时，，

所以，

又，

故，从而，

所以，f（x）在（，0）上单调递增.

(2)选择①，

由函数，可知

因此f（x）在上有且只有1个零点.

，令，

则在[0,]上恒成立.

即在[0，]上单调递增，，

当时，，f（x）在[0.]上单调递增.

则f（x）在（0，]上无零点，不合题意，舍去，

当时，，在[0，]上单调递减，

则在（0，]上无零点，不合题意，舍去，

当时，

则在（0，）上只有1个零点，设为.

且当时，；当时，

所以当时，在（0，）上单调递减，在（x0，）上单调递增，

又

因此只需即可，即，

综上所述：            

选择②，

构造函数

此时

则

易知

令

令，

令，则

所以在（0，）上单调递减.

又

在（0，）上存在唯一实数使得，且满足当时，

当时.

即p（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，）上单调递减.

又，

所以在上存在一实数使得，

且满足当时，；当时，

即在（0，x2）上单调递增，在（，）上单调递减，

当时，即，函数在[0，]上单调递增，又，因此恒成立，符合题意，

当，即，在上必存在实数，使得当时，，又，因此在上存在实数不合题意，舍去

综上所述.