2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底考试数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用集合的交集运算即可.【详解】解：因为集合，所以．故选：C.2．已知，，则（       ）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】利用复数的运算及复数相等的概念求解即可.【详解】解:因为，所以，则，．故选: A.3．设向量，夹角的余弦值为，且，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解.【详解】因为向量，夹角的余弦值为，且，，所以.所以．故选：B.4．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.5．若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆锥的高为h，利用母线与底面所成角求出高即可得解.【详解】设圆锥的高为h，因为母线与底面所成的角为，所以，解得．圆锥的体积．故选：B6．已知数据，，…，的平均值为，方差为，若数据，，…，的平均值为，方差为，则（       ）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，若可得，，代入数据，解得的值．【详解】因为，，…，的平均值为，方差为，由数据，，…，的平均值为，方差为，所以，解得，．故选：A．7．函数的图象大致形状是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案.【详解】由，得，则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，当时，排除C，故选：D.8．设x，y满足约束条件，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出，向可行域平移即可求解.【详解】作出可行域，如图所示，目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，转化为，令，则，作出直线并平移使它经过可行域的点，经过时，所以，解得，所以.此时取得最小值，即．故选：C.9．已知函数，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，所以，解得．故选：B10．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据最小正周期为可得，再根据三角函数图象平移的性质可得，结合三角函数图象的性质即可得值域【详解】因为的最小正周期为，所以．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，当，，所以的值域为．故选：C11．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得．【详解】由，边化角得，又，所以，展开得，所以，因为，所以．故选：B．12．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，即方程在上有解，即在上有解．令，，则，可知在上单调递增，在上单调递减，故当时，，由于，，且，所以．故选：A．二、填空题13．已知，则=______．【答案】【分析】由题意，求出，代入二倍角正切公式，计算的值．【详解】因为，所以，则．故答案为：．14．别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的概率为______．【答案】【分析】利用列举法写出基本事件，再结合古典概型的计算公式即可求解.【详解】从4张卡片中不放回地抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）这6种情况，设抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的事件为,其中包含的基本事件有（2，3），（3，4）这2种情况，由古典概型的计算公式得故概率为．故答案为：.15．已知F为双曲线C：的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为2，则C的离心率为______．【答案】3【分析】由双曲线的基本性质得A、B两点的坐标，利用斜率得关系式求解即可.【详解】解:设双曲线焦距为2c，则，，，因为AB的斜率为2，所以，整理得，解得，所以．故答案为:3.16．在长方体中，底面是边长为4的正方形，，过点作平面与分别交于M，N两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：①异面直线与所成角的余弦值为；②平面；③点B到平面的距离为；④截面面积的最小值为6．其中正确的是__________（请填写所有正确说法的编号）【答案】②④【分析】利用异面直线所成角的定义及余弦定理可判断①，利用线面平行的判定定理可判断②，利用等积法可判断③，过点A作，连接，进而可得为与平面所成的角，结合条件及基本不等式可判断④.【详解】依题意得，因为，所以异面直线与所成的角即或其补角，在中，，所以异面直线与所成角的余弦值为，故①错误．由于平面平面，所以平面，故②正确．设点B到平面的距离为h，由，得，解得，故③错误．如图，过点A作，连接，因为平面，所以，又，所以平面，平面，则，平面平面，平面平面，故为与平面所成的角，则，在中，，则有，在中，由射影定理得，由基本不等式得，当且仅当，即E为的中点时，等号成立，所以截面面积的最小值为，，故④正确．故答案为：②④.三、解答题17．已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）直线的参数方程消去参数，即得的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；（2）将直线的参数方程代入，利用直线的参数方程的几何意义，可得，结合韦达定理，即得解.【详解】(1)由（t为参数），可得l的普通方程为；由曲线C的极坐标方程及可得，整理得，所以曲线C的直角坐标方程为．(2)易知点M在直线 l 上，将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，即，设P，Q对应的参数分别为，则，因为，所以．18．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答.【详解】(1)等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，所以.(2)由（1）知，，所以.19．已知函数．(1)求的图像在点处的切线方程；(2)求在上的值域．【答案】(1)；(2)．【分析】对于第一小问，把点代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．对于第二小问，解不等式，得函数增区间，解不等式，得函数减区间，结合，确定函数单调性，求得最值，进而得值域．【详解】(1)因为，所以，所以，，故所求切线方程为，即．(2)由（1）知，．令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．又，，所以，即在上的值域为．20．随着人们生活水平的提高，私家车占比越来越大，汽车使用石油造成的空气污染也日益严重．新能源汽车不仅降低了对石油进口的依赖，也减少了对整个地球环境的污染．某新能源车2016〜2021年销量统计表如下：年份201620172018201920202021年份编号x123456销量y/万辆2.73.33.644.65.2 通过数据分析得到年份编号x与对应的新能源车销量y（单位：万辆）具有线性相关关系．(1)求该新能源车销量y（单位：万辆）关于年份编号x的线性回归方程；(2)根据（1）中的线性回归方程预测2025年和2026年该新能源车销量的平均值．参考公式：，．【答案】(1)(2)万辆【分析】（1）根据表中数据及参考公式，求出，，进而求得回归直线方程；（2）将和代入上式的线性回归方程中及平均数的定义即可求解.【详解】(1)由题意可得，．，，则，从而，故该新能源车销量y关于年份编号x的线性回归方程为．(2)当时，；当时，．则2025年和2026年该新能源车销量的平均值为万辆．21．如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等边的中线．(1)证明：平面．(2)若，求点E到平面PBC的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取PC的中点F，连接EF，BF，得后可得线面平行；（2）连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．然后利用体积法由求出到平面的距离即得．【详解】(1)证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF．因为E是棱PD的中点，所以，且．因为，，所以，，所以四边形ABFE是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．(2)解：如图，连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．平面平面，，，易知平面PAD，平面PAD．因此平面内的直线都与垂直，因为，，所以，，所以．设D到平面PBC的距离为h，则．又，三棱锥的高即为的高，长为，所以．由，得，所以点E到平面PBC的距离等于．22．已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程．(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】(1)由题意可知，再根据离心率为可求，进而可求椭圆方程；(2) 设，，直线的方程为，与椭圆联立，由韦达定理可得，的值，联立直线与直线，求出交点的坐标，进而得到的表达式，代入已知求解即可.【详解】(1)解：设椭圆的焦距为，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以．因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为．(2)设，，直线的方程为，与椭圆联立，得，因为直线MN交椭圆C于M，N两点，所以，所以，，所以．直线：与直线的交点的坐标为，则．假设存在满足条件的实数，则，所以，所以．