2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考四数学(文)试题含解析
展开
这是一份2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考四数学(文)试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考四数学(文)试题一、单选题1.已知集合,,则=( )A. B. C. D.【答案】A【分析】先化简集合A,B,再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合,,所以=,故选:A2.已知,复数,则A.-2 B.1 C.0 D.2【答案】D【详解】分析:先利用复数的除法法则化简等式的右边,再利用复数相等的定义得到相关值.详解:因为,所以,即.故选D.点睛:本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识,意在考查学生的基本计算能力.3.若角的终边经过点,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由三角函数定义可直接求得结果.【详解】角的终边经过点,.故选:B.4.“搜索指数”是网民通过搜索引擎,以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2019年9月到2020年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图,下列结论正确的是( )A.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值D.从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的方差小于11月份的方差【答案】C【分析】根据走势图,逐一分析各个选项,即可得答案.【详解】对于A:由走势图可得,网民对该关键词相关的信息关注度没有周期性变换,故A错误;对于B:从2月开始,网民对该关键词相关的信息关注度上升,故B错误;对于C:由走势图可得,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值,故C正确;对于D:去年10月份波动较大,方差大,去年11月波动较小,方差小,故去年10月份的方差大于11月份的方差,故D错误,故选:C5.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.B.C.D.【答案】D【分析】根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体,分别计算其表面积得解.【详解】四分子一圆锥表面积 , 所以组合体表面积为故选:D【点睛】本题考查三视图还原几何体求表面积问题.几何体三视图还原其直观图时,要熟悉柱、锥、球、台的三视图,结合空间想象将三视图还原为直观图.6.已知直线与圆相交于,两点,若,则实数的值为A.或 B.或 C.9或 D.8或【答案】A【详解】由题意可得,圆心(0,3)到直线的距离为,所以,选A.【点睛】直线与圆相交圆心角大小均是转化为圆心到直线的距离,用点到直线的距离公式解决.7.执行下面的程序框图,如果输入,,则输出的A.7 B.20 C.22 D.54【答案】B【详解】初始值a=1,b=1,s=0,k=0s=2,a=2,b=3,k=2,s=7,a=5,b=8,k=4s=20,a=13,b=21,k=6输出s=20,选B.8.材料一:已知三角形三边长分别为,,,则三角形的面积为,其中.这个公式被称为海伦-秦九韶公式材料二:阿波罗尼奥斯(Apollonius)在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:我们把平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答:已知中,,,则面积的最大值为( )A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】根据材料二可得点的轨迹为椭圆,当点运动到椭圆短轴的顶点时,可得的面积取得最大值.【详解】由材料二可得点的轨迹为椭圆,其焦距,长轴,短轴当点运动到椭圆短轴的顶点时,可得的面积取得最大值,,故选:C.【点睛】本题考查椭圆的定义及三角形面积的最值,考查数形结合思想,考查运算求解能力.9.已知函数,若方程有两个解,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【详解】当时,必有一解,所以只需时有一解即可,而在是减函数,只需,即.故选:C.10.设,是双曲线的左、右焦点,是坐标原点,过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为,则,,可得,在和中,分别求出和,利用,可得结合,即可求解.【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为,,,,因为,所以,在中,,中,,因为,所以,所以可得,所以,所以,所以,故选:D【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率,属于中档题.11.已知函数,若 是函数 的唯一极值点,则实数 的取值范围是 ( )A. B.C. D.【答案】D【分析】求出导函数并因式分解得到,再令,进而讨论函数的单调性并求出最小值,然后讨论和两种情况分别求出原函数的极值点个数,最后得到答案.【详解】由题意,,,记,则,则时,,单调递减,时,,单调递增,所以.若,则时,,单调递减,时,,单调递增,于是 是函数 的唯一极值点.若,则,易知,于是时,;设,,即在上单调递增,所以,则时,,此时,于是且时,.再结合函数的单调性可知,函数在两个区间内分别存在唯一一个零点,且当时,,单调递减,时,,单调递增,时,,单调递减,时,,单调递增.于是函数 存在3个极值点.综上所述:.故选:D.【点睛】本题难度较大,首先,注意对函数求完导之后要因式分解,题目要求为极值点,则尽量分解出,其次,在讨论函数的零点时可以借助函数的单调性和图象进行分析,这样作为选择题会很快得出答案.12.在中,,,有下述四个结论:①若为的重心,则②若为边上的一个动点,则为定值2③若,为边上的两个动点,且,则的最小值为④已知为内一点,若,且,则的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】A【解析】根据题意,先得为等腰直角三角形;①取中点为,连接,得到,根据平面向量基本定理,即可得出结果;②先由①得到,由题意得到在上的投影为,进而可求出向量数量积;③以点为坐标原点,分别以、所在直线为轴、轴,建立平面直角坐标系,由题意,设,且,不妨令,根据向量数量积的坐标表示,即可求出结果;④同③建立平面直角坐标系,设,根据题意,得到,再设,由题意,得到,,用表示出,即可求出结果;【详解】因为在中,,; 所以为等腰直角三角形;①如图1,取中点为,连接,因为为的重心,所以在上,且,所以,故①正确;②如图1,同①,因为为中点,为等腰直角三角形,所以,若为边上的一个动点,则在上的投影为,因此,故②错;③如图2,以点为坐标原点,分别以、所在直线为轴、轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,易得,所在直线方程为:;因为,为边上的两个动点,所以设,,且,不妨令,因为,所以,即,则,所以,当且仅当时,等号成立;故③正确;④同③建立如图3所示的平面直角坐标系,则,,设,则,又,所以,即因为为内一点,且,设,则,且,,因此,因为,所以,所以无最值,即无最值,故④错.故选:A.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用,以及求平面向量的数量积等问题,熟记平面向量基本定理,灵活运用建系的方法求解即可,属于常考题型.二、填空题13.若满足约束条件则的最小值是_______.【答案】;【分析】画出可行域和目标函数,根据图像得到答案.【详解】画出可行域和目标函数,如图所示:,则,表示直线在轴的截距,根据图像知:当时,目标函数有最小值为.故答案为:.【点睛】关键点睛:本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.14.一个动圆与定圆相外切,且与直线相切,则动圆圆心的轨迹方程为_______.【答案】【分析】分析可知,动圆圆心的轨迹是以点为圆心,以直线为准线的抛物线,由此可得出动圆圆心的轨迹方程.【详解】由题意可知,圆的圆心为,半径为,由于动圆与定圆相外切,且与直线相切,动圆圆心到点的距离比它到直线的距离大,所以,动圆圆心到点的距离等于它到直线的距离,所以,动圆圆心的轨迹是以点为圆心,以直线为准线的抛物线,设动圆圆心的轨迹方程为,则,可得,所以,动圆圆心的轨迹方程为.故答案为:.【点睛】方法点睛:求动点的轨迹方程有如下几种方法:(1)直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程;(2)定义法:如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程;(3)相关点法:用动点的坐标、表示相关点的坐标、,然后代入点的坐标所满足的曲线方程,整理化简可得出动点的轨迹方程;(4)参数法:当动点坐标、之间的直接关系难以找到时,往往先寻找、与某一参数得到方程,即为动点的轨迹方程;(5)交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程.15.点在双曲线(,)的右支上,其左、右焦点分别为、,直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点,线段的垂直平分线恰好过点,则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】画出图形,由条件可得,,,设线段的中点为,则,然后求出,然后利用双曲线的定义即可建立出方程求解.【详解】由线段的垂直平分线恰好过点可得因为直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点所以,设线段的中点为,则在直角三角形中可得所以由双曲线的定义可得:即,即,即,即,解得所以离心率为故答案为:【点睛】本题考查的是双曲线的定义及三角形中的计算,考查了离心率的求法,属于中档题.16.菱形ABCD中,,,将△CBD沿BD折起,C点变为E点,当四面体E-ABD的体积最大时,四面体E-ABD的外接球的面积为_______.【答案】【分析】当平面平面时,四面体E-ABD的体积最大,分别从△EBD和△ABD的外接圆圆心作其面的垂线,交线即为外接球球心,在根据边角关系求得半径长,从而求得外接球表面积.【详解】如图所示,当平面平面时,四面体E-ABD的体积最大,分别从△EBD和△ABD的外接圆圆心作其面的垂线,交于点,即为外接球球心,则易知四边形为正方形.由知,,,由正弦定理知,故,在中,,故四面体E-ABD的外接球的面积为,故答案为:.【点睛】关键点点睛:找到四面体E-ABD的体积最大的位置,做出外接球球心,从而在三角形中求得外接球半径.三、解答题17.在△中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求角;(2)若,求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理边化角,再利用三角形内角和定理将,推导出,由此求出角.(2)由已知条件推导出,从而由余弦定理得出,最后利用基本不等式求出的最小值.【详解】(1)△中,,由正弦定理知,,∵,∴ ,∴,∴,∴,又∵ , ∴;(2)由(1)及得,所以,当且仅当时取等号,所以的最小值为.18.蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动,随着全民健身时代的到来,蹦床越来越受到人们的喜爱某大型蹦床主题公园为吸引顾客,推出优惠活动对首次消费的顾客,先注册成为会员,首次按60元收费.对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下:消费次数第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80 该蹦床主题公园从注册的会员中,随机抽取了100位统计他们的消费次数,得到数据如下:消费次数1次2次3次4次≥5次频数60201055 假设每消费一次,蹦床主题公园的成本为30元,根据所给数据,解答下列问题:(1)以频率估计概率,估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率.(2)某会员消费6次,求这6次消费中,该蹦床主题公园获得的平均利润.(3)以样本估计总体,假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查,再从这6人中随机选取2人进一步了解情况,求抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次的概率.【答案】(1);(2)23元;(3).【分析】(1)根据频数分布表求得至少消费2次的频数之和,再求频率,即为所求概率;(2)分别求得每次消费对应的利润,再求利润之和,以及利润的平均值即可;(3)先求得从6人中随机选取2人的所有情况,再求满足题意的情况,利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】(1)随机抽取的100位会员中,至少消费2次的会员有(位),所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率.(2)第1次消费时,蹦床主题公园获取的利润为(元),第2次消费时,蹦床主题公园获取的利润为(元),第3次消费时,蹦床主题公园获取的利润为(元),第4次消费时,蹦床主题公园获取的利润为(元),第5次或第6次消费时,蹦床主题公园获取的利润为(元)所以这6次消费中,该蹦床主题公园获得的平均利润为(元).(3)由题意知,从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人,2人,这6人中,将消费3次的会员分别记为,消费4次的会员分别记为.从6人中随机抽取2人的情况有,,,共15种.设“抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次”为事件A,则事件A包含的情况有,,共8种.根据古典概型的概率计算公式可得,.19.如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是菱形,点E是的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面,,,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接,设,连接,证得,结合线面平行的判定定理,即可证得平面;(2)取的中点,连接,得到,进而证得平面,结合体积公式,利用,即可求解.【详解】(1)解:连接,设,连接,因为四边形是菱形,所以点是的中点,又因为是的中点,所以是三角形的中位线,所以,又因为平面,平面,所以平面.(2)解:因为四边形是菱形,且,所以,又因为,所以是正三角形,取的中点,连接,则,又平面平面,平面,平面平面,所以平面,在等边中,,又由的面积,所以.20.已知抛物线:的焦点为,点在抛物线上.(1)若,求抛物线的标准方程;(2)若直线与抛物线交于,两点,点的坐标为,且满足,原点到直线的距离不小于,求的取值范围.【答案】(1)或;(2).【分析】(1)由已知可得,由抛物线的定义可得,解方程求得的值即可求解;(2)设,,联立直线与,由原点到直线的距离不小于可得的范围,由韦达定理可得、,利用坐标表示可利用表示,再利用函数的单调性求得最值即可求解.【详解】(1)由题意及抛物线的定义得:,又因为点在抛物线上,所以,由 可得或,所以抛物线的标准方程为或.(2)设,,联立消去可得:,则,,因为,所以,所以,可得,由原点到直线的距离不小于,可得,解得或,因为,所以不成立,所以,因为在上单调递增,所以,所以,即的取值范围为.21.已知.(1)若,求的极值.(2)若方程在上有两个不同的实数根,求实数的取值范围.【答案】(1)的极小值为,极大值为;(2).【分析】(1)对函数求导,求出导函数为0时的x值并讨论导数值正负即可作答;(2)把给定等式分离参数变形为,再讨论函数在上的性质即可得解.【详解】(1)由题意得,所以,令,得,解得,时,;时,;时,,所以在处取极小值,在处取极大值;(2)由,得,令,,则,时,,时,,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,故在处取得最大值,而,且,因原方程有两个不同的实数根,则8-e2≤m<8ln2-4,所以实数的取值范围为.22.在平面直角坐标系中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M的参数方程为 (为参数),过原点O且倾斜角为的直线交M于A、B两点.(1)求和M的极坐标方程;(2)当时,求的取值范围.【答案】(1),(2)【分析】(1)结合消去参数,得到极坐标方程,即可.(2)将直线的极坐标方程,代入曲线的极坐标方程,得到,用表示,结合三角函数的性质,计算范围,即可.【详解】(Ⅰ)由题意可得,直线的极坐标方程为.曲线的普通方程为,因为,,,所以极坐标方程为.(Ⅱ)设,,且,均为正数,将代入,得,当时,,所以,根据极坐标的几何意义,,分别是点,的极径.从而: .当时,,故的取值范围是.【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质,难度较大.23.已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若的最大值为m,正数满足,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据题意,分、和,三种情况讨论,结合不等式,即可求解;(2)根据函数的解析式,分类讨论求得函数的最大值,得到,结合柯西不等式,即可求解.【详解】(1)解:当时,,由,得,解得,此时;当时,,由,得,解得,此时;当时,,此时不等式无解,综上所述,不等式的解集为;(2)解:由(1)可知,当时,;当时,;当时,.所以,函数的最大值为,则.由柯西不等式可得,即,即,当且仅当时,等号成立.因此,.
相关试卷
这是一份2023届河南省顶级名校高三上学期12月摸底考试数学(文)试题含解析,共22页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2023届河南省顶级名校高三上学期10月阶段性测试数学(理)试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2022届河南省顶级名校高三5月全真模拟考试数学(文)试题含解析,共15页。试卷主要包含了单选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。