2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底考试数学（理）试题含解析

2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据补集运算的概念，即可得答案.

【详解】由题意得.

故选：C

2．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算法则求解即可

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：A

3．已知，且，则向量夹角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据数量积的定义直接计算可得.

【详解】设向量的夹角为，因为，所以．

故选：B.

4．若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的高为h，利用母线与底面所成角求出高即可得解.

【详解】设圆锥的高为h，

因为母线与底面所成的角为，所以，解得．

圆锥的体积．

故选：B

5．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则公差为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由等差数列的性质，通项公式以及等比数列的性质求解即可

【详解】因为，故，解得．

又成等比数列，

所以．

设公差为d，

所以，整理得，

因为，所以．

故选：C

6．世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．

下列四个结论中错误的是（       ）

A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加

B．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢

C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多

D．2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平

【答案】B

【分析】根据三幅统计图依次判断每个选项即可.

【详解】由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；

由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；

由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确；

三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故B错误．

故选：B.

7．已知命题，命题，则是q的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据分式不等式的解法，先求得，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.

【详解】由，等价于，解得或，

所以．

因为，且，

所以是q的既不充分也不必要条件．

故选：D

8．函数的图象大致形状是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案.

【详解】由，

得，

则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，

当时，排除C，

故选：D.

9．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据最小正周期为可得，再根据三角函数图象平移的性质可得，结合三角函数图象的性质即可得值域

【详解】因为的最小正周期为，所以．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，当，，所以的值域为．

故选：C

10．已知函数，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】解：因为，

当时函数单调递减，且，

当时函数单调递减，且，

所以函数在上是单调递减，

所以不等式等价于，解得．

即不等式的解集为；

故选：C

11．设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点．若，且的面积为24，则（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】画出图形，由题意可得，，然后由结合抛物线的定义与三角形面积即可求解

【详解】因为以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点，

所以，

结合抛物线的定义，可知点A到准线的距离为．

又因为，，

所以的面积为，

解得．

故选：C

12．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不等式可转化为对任意恒成立，构造利用导数求出的最小值即可.

【详解】由，则，

因为在上为增函数，所以，即对任意恒成立，

设函数，则，

由可得，由可得，

所以在上为减函数，在上为增函数，所以，

因为对任意的恒成立，所以，

所以.

故选：B．

二、填空题

13．在展开式中，含的项的系数是_____________．

【答案】

【分析】先求得展开式的通项公式，令，即可得答案.

【详解】由题意得的展开式的通项公式为，

令，则的系数为．

故答案为：

14．设，满足约束条件则的最小值为___________．

【答案】

【分析】根据约束条件，画出可行域，由目标函数求出最小值．

【详解】画出可行域如下图：

由图可知，当直线过点时，取得最小值．

故答案为：．

15．已知F为双曲线的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且垂直于x轴，若C的离心率为5，则的斜率为______________．

【答案】

【分析】根据双曲线的几何性质可知，，即可根据斜率列出等式求解即可．

【详解】设焦距为，则，

因为C的离心率为5，所以，

的斜率为，

又因为，且，

所以．

故答案为：

16．在长方体中，底面是边长为4的正方形，，过点作平面与分别交于M，N两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：

①异面直线与所成角的余弦值为；

②平面；

③点B到平面的距离为；

④截面面积的最小值为6．

其中正确的是__________（请填写所有正确说法的编号）

【答案】②④

【分析】利用异面直线所成角的定义及余弦定理可判断①，利用线面平行的判定定理可判断②，利用等积法可判断③，过点A作，连接，进而可得为与平面所成的角，结合条件及基本不等式可判断④.

【详解】依题意得，因为，

所以异面直线与所成的角即或其补角，

在中，，

所以异面直线与所成角的余弦值为，故①错误．

由于平面平面，

所以平面，故②正确．

设点B到平面的距离为h，由，

得，解得，故③错误．

如图，过点A作，连接，

因为平面，所以，又，

所以平面，平面，

则，平面平面，平面平面，

故为与平面所成的角，则，

在中，，则有，

在中，由射影定理得，

由基本不等式得，

当且仅当，即E为的中点时，等号成立，

所以截面面积的最小值为，，故④正确．

故答案为：②④.

三、解答题

17．已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）直线的参数方程消去参数，即得的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；

（2）将直线的参数方程代入，利用直线的参数方程的几何意义，可得，结合韦达定理，即得解.

【详解】(1)由（t为参数），

可得l的普通方程为；

由曲线C的极坐标方程及

可得，

整理得，

所以曲线C的直角坐标方程为．

(2)易知点M在直线 l 上，

将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，

即，

设P，Q对应的参数分别为，则，

因为，

所以．

18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

(1)求角A；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件和正弦定理可得，然后结合三角函数的知识可得答案；

（2）由条件结合余弦定理求出的值即可.

【详解】(1)由正弦定理得，

因为，所以，

所以，化简得，

所以，因为，所以．

(2)因为，由余弦定理得，

又，所以，即，解得，

则的面积．

19．随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据：

(1)求y关于x的线性回归方程，并估计该厂6月份的订单金额．

(2)已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为，不合格的产品需要更换，用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望．

参考数据：．

参考公式：回归直线的方程是，其中

【答案】(1)，59.9万元

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据已知和参考数据求出即可得出方程，代入可估计该厂6月份的订单金额；

（2）可得X的取值可能为0，1，2，3，4且，求出X取不同值的概率即可得出分布列求出期望.

【详解】(1)由数据可得，

,

所以，

故y关于x的线性回归方程为．

当时，，估计该厂6月份的订单金额为59.9万元．

(2)依题意，随机变量X的取值可能为0，1，2，3，4，．

；；

；；

．

随机变量X的分布列为

故．

20．如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，，是等边的中线．

(1)证明：平面．

(2)若，求二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点F，连接，进而证明四边形是平行四边形，进而证明平面；

（2）取的中点O，连接，易知平面，进而以O为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】(1)证明：如图1，取的中点F，连接．

因为E是棱的中点，所以，且．

因为，所以，

所以四边形是平行四边形，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

(2)解：取的中点O，连接，

因为为等边三角形，所以，

因为平面平面，平面平面,平面，

所以平面．

所以，以O为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为等边的边长为，

所以，

．

设平面的一个法向量为

由得

令，则，所以．

又平面的一个法向量为，

因为，

所以二面角的大小为．

21．已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程．

(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；

【分析】(1)由题意可知，再根据离心率为可求，进而可求椭圆方程；

(2) 设，，直线的方程为，与椭圆联立，由韦达定理可得

，的值，联立直线与直线，求出交点的坐标，进而得到的表达式，代入已知求解即可.

【详解】(1)解：设椭圆的焦距为，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，

所以．

因为椭圆的离心率为，所以，解得，

所以，

所以椭圆的方程为．

(2)设，，直线的方程为，

与椭圆联立，

得，

因为直线MN交椭圆C于M，N两点，所以，

所以，，

所以．

直线：与直线的交点的坐标为，则．

假设存在满足条件的实数，则，

所以

，

所以．

22．已知函数为的导函数．

(1)求不等式的解集；

(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得，解之即得；

（2）分，，讨论，利用导数研究函数的单调性，可得或不合题意，当时利用导数结合零点存在定理可得在上存在极大值，进而即得.

【详解】(1)因为，其定义域为，

所以,

不等式，可化为,

即，

解得或．

所以不等式的解集为．

(2)由题可得，

令，则，

①当时，，在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，无最大值，不符合题意，

②当时，在上单调递减，所以，

所以在上单调递减，无最大值，不符合题意．

③当时，由，可得，

∴，在上单调递增，，在上单调递减；

设，则，

令，则；令，则，

所以在上单调递减，在单调递增，

所以，即，

由此可得，当时，，即．

所以当时，．

取，则，且．

又，所以由零点存在性定理，存在，使得，

所以当时，，即，当时，，即，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上存在最大值，符合题意．

综上，实数a的取值范围为．

【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.