2022届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模数学试题含解析

这是一份2022届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模数学试题一、单选题1．已知集合，则（       ）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根据不等式的解法，求得，结合补集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，即，根据补集的概念及运算，可得或.故选：D.2．设，则在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】首先求出复数的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面内所在的象限得选项.【详解】解：因为，所以，在复平面内表示的点的坐标为位于第三象限，故选：C.【点睛】本题考查复数的共轭复数的计算，复数的几何意义，属于基础题.3．下列函数中，在R上为增函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】对于A，，在R上是减函数；对于B，在上是减函数，在上是增函数；对于C，当时，是增函数，当时，是增函数；对于D，的定义域是.【详解】解：对于A，，在R上是减函数，故A不正确；对于B，在上是减函数，在上是增函数，故B不正确；对于C，当时，是增函数，当时，是增函数，所以函数在R上是增函数，故C正确；对于D，的定义域是 ，故不满足在R上为增函数，故D不正确，故选：C.4．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式即得.【详解】由题可得，解得（舍去），或.故选：A.5．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，所以，故；同理，，故.因为，故.故最低费用为.故选B.6．已知，是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：123454911 其回归直线过点的一个充要条件是（       ）A． B．C． D．，【答案】C【分析】求出数据的样本中心点，根据回归直线过样本中心点，结合已知即可确定题设的充要条件.【详解】由题设，，，又、都在回归直线上，所以，必有，故，故回归直线过点的一个充要条件是.故选：C7．已知函数的图象如图所示.则（       ）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】由相邻零点与对称轴间的距离为周期的四分之一，求得周期，进而求得，由最低点的坐标求得的值，进而计算得解.【详解】由图象可得的最小正周期，∴，由，解得，由得，∴，∴，故选：A8．函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（       ）A．是奇函数 B．是偶函数C． D．【答案】B【分析】根据奇偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.【详解】因为是奇函数， ∴， ∵是偶函数，∴，即，，则，即周期为8；另一方面，∴，即是偶函数.故选：B.二、多选题9．已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（       ）A．过原点的任意直线B．C．D．以为圆心且半径超过3的圆【答案】AC【分析】选项，根据点与圆的位置关系判断；选项，根据点到直线距离判断；C选项，根据圆心距与半径的关系判断.【详解】选项：原点在圆内部，所以过原点的任意直线与圆相交，所以正确；选项：圆心到直线距离，相离，所以B错误；C选项：圆心距，所以两圆相交，所以C正确；选项：时，圆心距，两圆为内含关系，无公共点，所以错误；故选：AC.10．某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：由直方图判断，以下说法正确的是（       ）A．总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长B．B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长C．A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数D．B校学生做作业时长分布更接近正态分布【答案】AD【分析】由直方图可逐项分析可得答案.【详解】由直方图可知，A校学生做作业时长大部分在1—2小时，而B校学生做作业时长大部分在2.5—3.5小时，故A正确，C错误；B校有学生做作业时长小于l小时的，而A校有学生做作业时长超过5小时的，故B错误；B校学生做作业时长分布相对A校更对称，故D正确．故选：AD.11．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（       ）A．抛物线的准线方程为 B．C．的面积为 D．【答案】AD【解析】根据条件求出，再联立直线与抛物线求出，进而求出结论．【详解】解：点在抛物线上，，，焦点为，准线为，对，因为，故，故直线为：，联立或，，，，，，错，，对，的面积为．故错，故选：．12．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（       ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由题可得，进而可得是以2为首项，2为公比的等比数列，可得，即得.【详解】将圆盘从小到大编为号圆盘，则将第号圆盘移动到3号柱时，需先将第号圆盘移动到2号柱，需次操作；将第号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将号圆需移动到3号柱需次操作，故，，又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即，∴.故选：AD.三、双空题13．已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.则三棱锥的体积为__________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为__________.【答案】          【分析】取中点，由题可得平面，进而可得三棱锥的高，利用锥体体积公式可得三棱锥的体积，设点轨迹所在平面为，则轨迹为平面截三棱锥的外接球的截面圆，利用球的截面性质求截面圆半径即得.【详解】取中点，则，∴平面，，又，∴，则三棱锥的高，三棱锥体积为；作，设点轨迹所在平面为，则平面经过点且，设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，易知平面平面，且四点共面，由题可得，，解Rt，得，又，则三棱锥外接球半径，易知到平面的距离，故平面截外接球所得截面圆的半径为，∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.故答案为：；.四、填空题14．已知向量，若，则__________.【答案】【分析】由两向量平行得参数的值，再进行数量积运算即可.【详解】因为，，所以，所以，故答案为：.15．将4名志愿者全部分配到3个核酸检测点，每个检测点至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有__________种.【答案】36【分析】根据分组分配方法及分步计数原理求解.【详解】4人选出2人一组，另两人各一人一组，有种分组方法.再将3组分配到3个检测点，有种分配方法.故共有不同分配方案种.故答案为：36.16．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得，，，顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率______.【答案】2【分析】根据，，，顺次连接构成平行四边形，求得点与点的中点，从而求得点的坐标，代入双曲线方程求解.【详解】由题知点与点的中点也是点与点的中点，所以点的坐标为，又点在渐近线上，所以，∴，∴.故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.五、解答题17．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意列出方程求得，即可求得等差数列的通项公式；（2）由（1）得到，结合等差、等比数列的前和公式，即可求解.【详解】(1)解：设等差数列公差为，因为，且成等比数列，可得，解得或（舍去），所以数列的通项公式为.(2)解：由，可得，根据等差、等比数列的前和公式，可得：.18．设的内角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若边上的高为，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理可求得，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可得出，再代入即可得解.【详解】(1)解：由余弦定理，得， 所以，， 所以，， 又因为，所以，，则，，因此，.(2)解：因为的面积，则， 由余弦定理，得，所以，， 所以，.19．如图，在正方体中，点在线段上，，点为线段上的动点.(1)若平面，求的值；(2)当为中点时，求二面角的正切值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）过作于，根据线面平行的判定定理及性质，证明；推出；求得，进而可得出；（2）利用坐标法即得；或过作于，过作于，根据题中条件，得到是二面角的平面角，设正方体的棱长为，求出，即可得出结果.【详解】(1)过作于，连接.则，而，所以.因为平面平面，平面平面，所以，所以四边形是平行四边形，所以.因为，所以.所以，所以.(2)法一：如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，.易知平面的一个法向量，设平面的法向量为，因为，则可取由图知两平面所成角为锐角，则其余弦值为，得,即二面角的正切值为.法二：过作于，过作，连接，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以.所以是二面角的平面角.设正方体的棱长为，则.在Rt中，，则.即二面角的正切值为.20．某特种商品生产企业的甲､乙两个厂区共生产产品4a件，其中共有不合格产品a件，下图为全部产品中甲､乙两厂区生产产品数的分布图（图1），以及不合格产品中甲､乙两厂区生产产品数的分布图（图2）：(1)求甲､乙厂区各自生产产品的不合格率；（不合格率）(2)用不合格率估计抽到不合格产品的概率，（i）用分层抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记为样本中不合格品的件数，求的分布列.（ii）用简单随机抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记为样本中不合格品的件数.比较的大小，并说说你对这一大小关系实际含义的理解.【答案】(1)；(2)（i）分布列见解析；（ii），说明抽样方法不同，但都是等可能抽样且样本容量相同时，样本中不合格品件数的期望也相同.【分析】（1）由题可得甲，乙各自生产的产品数及不合格数，进而即得；（2）由题可得的所有可能取值，然后计算概率即得的分布列，期望；由题可知，利用二项分布的期望公式可得期望，进而即得.【详解】(1)由题可得知甲厂区生产件产品，乙厂区生产件产品，甲､乙两厂各生产不合格产品件，则甲厂区生产产品的不合格率为，乙厂区生产产品的不合格率.(2)（i）根据分层抽样可知，样本中3件产品来自甲厂区，1件产品来自乙厂区，的所有可能取值为.，，，则的分布列为：01234 （ii）全部产品的不合格率为，由简单随机抽样方法知，.由（i）知，.说明抽样方法不同，但都是等可能抽样且样本容量相同时，样本中不合格品件数的期望也相同.21．如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且. (1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）利用椭圆的定义可得，结合题列出关系式，可得，即得；或利用椭圆上点的坐标结合定义可得.（2）由题可设直线的方程为：，设点，利用韦达定理法，结合条件可得，即得.【详解】(1)法一：，,，,,∴椭圆方程为：.法二：设，代入椭圆方程，由，解得，，椭圆方程为：.(2)设动直线的方程为：，由，得设，则，由对称性可设存在定点满足题设，则，由，可得，所以，∴，∴，由题意知上式对成立，且，解得.存在定点，使得以为直径的适恒过这个点，且点的坐标为.22．已知.(1)求的最大值；(2)求证：（i）存在，使得；（ii）当存在，使得时，有.【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，进而求最值；（2）构造，进而可得，结合函数单调性及零点存在定理即得；由题可知即证，再利用导数解决双变量，构造函数，利用导数判断函数的单调性即得.【详解】(1)法一：，当时，单调递增；当时，单调递减..法二：，由在上均为减函数，∴在上单调递减，又，当时，单调递增；当时，单调递减..(2)过的直线方程为，令，则.，易知在单调递减.（i）当时，在单调递减，则，这与矛盾，不符题意；同理可证，当时不符题意.，故存在，使，即.（ii）要证，即证，由在单调递减，即证，即证，即证，，可证，其中.在单调递减，式得证，故.