2023届河南省南阳市第一中学校高三上学期第一次月考数学（文）试题含解析

2023届河南省南阳市第一中学校高三上学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题知，，进而根据补集运算与交集运算求解即可.

【详解】解：因为，，

所以，

所以

故选：B

2．给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；

②是整数，故可判断②正确；

③通过解方程，可得出，故可判断③；

④根据为正整数集可判断④；

⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.

【详解】①，故①错误；

②是整数，所以，故②正确；

③由，得或，所以，所以正确；

④为正整数集，所以错误；

⑤由，得，所以，所以错误.

所以正确的个数有2个.

故选：B.

3．“”是“在上恒成立”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出在上恒成立时的取值范围，结合充分条件和必要条件即可得出答案.

【详解】在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则在上恒成立，

故在上单调递增，

，所以.

因为，而推不出，

所以“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件.

故选：A.

4．存在函数满足：对任意都有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的定义，对于任一自变量x有唯一的y与之相对应，对x取特殊值，通过举反例排除即可．

【详解】A：当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设；

B：当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设；

C：令，当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设；

D：令，此时，即，符合题设．

故选：D.

5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据函数的定义域求出函数的定义域，然后再列出有意义时所满足的条件，从而可求出函数的定义域.

【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，

所以函数的定义域为，

所以要使函数有意义，需满足，解得，

所以函数的定义域为.

故选：B．

6．函数的递减区间是（       ）

A． B．和

C． D．和

【答案】B

【分析】分别讨论和，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.

【详解】当时，，，解得：，又为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在区间单调递减，

当时，， 为开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，

综上所述：函数的递减区间是和.

故选：B.

7．若函数，则的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出每一段上函数的值域，再求出两值域的并集即可得的值域.

【详解】当时，，则，

所以在上递增，所以，

即，

当时，，

所以，即，

因为，

所以的值域为，

故选：C

8．若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算时，函数值域为，故时的值域，讨论和两种情况，计算得到答案.

【详解】当时，

当时，的值域

时，单调递增，；

时，单调递减，时，不满足；

综上所述：

故选：

【点睛】本题考查了根据分段函数的值域求参数范围，分类讨论是常用的方法需要熟练掌握.

9．已知函数的定义域与值域均为，则（       ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据函数的定义域可得，，，再根据函数的值域即可得出答案.

【详解】解：∵的解集为，

∴方程的解为或4，

则，，，

∴，

又因函数的值域为，

∴，∴.

故选：A.

10．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】，所以，，整理得，

解得.

故选：C.

【点睛】解本题的关键在于求得函数的值域，再由构建不等式求解.

11．已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析可知在上单调递增，且，将所求不等式转化为，可得出，解此不等式即可得解.

【详解】当时，，所以在上单调递增，

且，不等式即为.

又因为是偶函数，所以不等式等价于，

则，所以，，解得.

综上可知，实数的取值范围为，

故选：A.

12．函数f(x)＝的值域为(　　)

A．[－,] B．[－,0]

C．[0,1] D．[0,]

【答案】C

【详解】令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C.

点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用的形式和平方关系联想到三角代换，二是由的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.

二、填空题

13．设函数，若，，则的解析式为＝________．

【答案】，

【分析】根据，，列出方程组，求得的值，即可求解.

【详解】由题意，函数，

因为，，可得，

即，解得，

所以函数的解析式为.

故答案为：

14．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则__________．

【答案】

【分析】先利用题给条件求得函数最小正周期为4，进而得到，再利用及即可求得的值.

【详解】，，则，

令则，则

由为偶函数，可得，则函数有对称轴

则有，又，则

则

则，

则函数最小正周期为4.

则

又，则

故答案为：

15．已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．

【答案】

【分析】由题意知函数为开口向下，且对称轴为的二次函数，讨论与的大小关系，即可得出在区间上的单调性，则可列出等式，即解出的值，则可求出答案.

【详解】因为，对称轴为，

当时：在上单调递减，所以，无解；

当时：在上单调递增，所以，

解得：或，或，又，所以，;

当时：在上单调递增，在上单调递减，

此时，与矛盾；

综上所述：，，此时

故答案为：.

16．函数的值域是__________．

【答案】

【分析】将函数的值域转化为与有交点时的t的取值范围，利用数形结合法求解.

【详解】解：，

由，解得，

令，即，

将函数的值域转化为与有交点时的t的取值范围，

在同一坐标系中作函数与的图象如图所示：

由图象知：当直线与半圆相切时，t最小，

此时，解得，由图象知，

当直线过点时，t最大，此时，

所以，即的值域是，

故答案为：

三、解答题

17．已知集合，.

（1）若“命题：，”是真命题，求的取值范围.

（2）“命题：，”是真命题，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由“命题：，”是真命题得，再根据集合之间的包含关系求解即可；

（2）由“命题：，”是真命题得，再根据集合之间的包含关系求解即可.

【详解】解：得，则，

（1）“命题：，”是真命题，∴，

当时，∴，解得；

当时，，解得，

综上所述，的取值范围；

（2）由为真，则，，∴，∴，

∴，故只需要∴

综上，.

【点睛】本题考查了根据命题真假求参数取值范围，利用集合之间的关系求参数取值范围，属于中档题.

18．设命题，；命题关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零；命题的解集．

（1）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）分别求出当命题为真命题时实数的取值范围，以及当命题为真命题时实数的取值范围，由已知条件可得、一真一假，然后分真假和假真两种情况讨论，综合可得出实数的取值范围；

（2）解不等式，根据已知条件可出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）若命题为真命题，即，，则，解得或.

若命题为真命题，即关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零，

则，可得.

因为为真命题，为假命题，则、一真一假.

若真假，则，可得；

若假真，则，可得.

综上所述，实数的取值范围是；

（2）对于命题，，由，可得，

可得或，解得或.

因为是的必要不充分条件，则，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】结论点睛：本题考查利用必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含．

19．下表是弹簧伸长的长度与拉力值的对应数据：

(1)求样本相关系数（保留两位小数）；

(2)通过样本相关系数说明与是否线性相关；若是求出与的线性回归方程，若不是，请说明理由．

参考数据和公式：，，，

线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．

【答案】(1)0.98；

(2)与是线性相关，回归方程是.

【分析】(1)根据给定数据表求出相关系数公式中的相关量，再代入公式计算作答.

(2)由(1)可得与是线性相关，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程.

【详解】(1)依题意，，，

，，

，

所以样本相关系数.

(2)由(1)知，接近于1，说明与具有较强的线性相关关系，

，，

因此，，，

所以与是线性相关，回归方程是.

20．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．

(1)写出l的直角坐标方程；

(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；

（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.

【详解】(1)因为l：，所以，

又因为，所以化简为，

整理得l的直角坐标方程：

(2)联立l与C的方程，即将，代入

中，可得，

所以，

化简为，

要使l与C有公共点，则有解，

令，则，令，，

对称轴为，开口向上，

所以，

，

所以

m的取值范围为.

21．定义在上的奇函数，已知当时，．

(1)求在上的解析式；

(2)若使不等式成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有，即可求出的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；

（2）参变分离后构造函数，根据函数的单调性即可求出最小值，从而可以求出结果.

【详解】(1)（1）因为是定义在上的奇函数，时，，

所以，解得，

所以时，，

当时，，

所以，

又，

所以，，

即在上的解析式为.

(2)因为时，，

所以可化为，整理得，

令，根据指数函数单调性可得，

与都是减函数，

所以也是减函数，

，

所以，

故实数的取值范围是.

22．已知函数是定义在上的函数，对任意，满足条件，且当时，.

（1）求证：是上的递增函数；

（2）解不等式，（且）.

【答案】（1）证明见解析；（2），解集；，解集..

【分析】（1）利用单调性的定义，取易得，结合题设有，即可证结论.

（2）由递推关系可得，再求、，最后由单调性有，进而讨论参数a结合对数函数的性质求x的范围.

【详解】（1）任取，则，而，

∴，即，

∴是上的递增函数；

（2）由题设，原不等式转化为，

又时，，即，

而，又，即，

∴，由（1）知：，

∴，解得或，

当时，或；当时，或；

∴，解集；，解集.

【点睛】关键点点睛：第二问，利用题设递推关系得到的形式，结合第一问的单调性解不等式即可.