2021-2022学年河南省商丘市一高高二下学期期末考试文科数学试题解析版

商丘市一高2021~2022学年下学期高二期末考试

数学（文科）

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3·考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围；高考范围.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数，是的共轭复数，则（    ）

A.    B.    C.    D.13

3.“”是“直线与圆相切”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

4.如图，小正方形的边长为1，一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（    ）

A.60    B.80    C.120    D.125

5.下列推理正确的是（    ）

A.因为，则

B.小芳买了体育彩票，所以他一定能中奖

C.若向量，是单位向量，则

D.若关于的不等式的解集为，则

6.若，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

7.函数在处的切线在轴上的截距为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.若，则面积的最大值为（    ）

A.    B.    C.16    D.

9.一程序框图运行的结果，则判断框中应填写的关于的条件为（    ）

A.？    B.？    C.？    D.？

10.将的图象上所有点向右平移1个单位长度后，得到函数，的图象，函数的图象如图所示，则（    ）

A.

B.的图象的对称轴方程为

C.不等式的解集为

D.在上单调递增

11.已知，是椭圆C：的左､右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

12.设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.   

C.    D.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数则______.

14.已知，是两个平面向量，，若，则______.

15.已知，是双曲线C：的左､右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______.

16.已知球O为三棱锥的外接球，球O的体积为，正三角形ABC的外接圆半径为，则三棱锥的体积的最大值为______.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

已知等差数列的前项和为，，.等比数列的各项均不相等，且，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

在直三棱柱中，E，F分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，，求点到平面的距离.

19.（本小题满分12分）

为了解大学生对2022年北京冬奥会上的“雪上项目”“冰上项目”的喜欢程度，某高校随机拙取了男生55人，女生45人进行问卷调查，其中，男生喜欢“雪上项目”与喜欢“冰上项目”的人数之比为7∶4；女生喜欢“雪上项目”与喜欢“冰上项目”的人数之比为.

（1）请根据以上调查结果将下面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢“雪上项目”或“冰上项目”与性别有关？

（2）从喜欢“冰上项目”的学生中，按性别用分层抽样的方法随机选出9人，再从9人中随机选出2人接受采访，求2人性别不同的概率.

附：，其中.

20.（本小题满分12分）

已知抛物线C：上的点到焦点F的距离等于圆的半径.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点F作两条互相垂直的直线与，直线交C于M，N两点，直线交C于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的最小值.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，直线与x，y轴的交点分别为A，B.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点是曲线上异于A，B的一点，求的面积的最大值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知不等式的解集为.

（1）求集合；

（2）设集合中元素的最小值为，若，，，且，求的最小值.

商丘市一高2021~2022学年下学期高二期末考试·数学（文科）参考答案､提示及评分细则

1.D  因为，，由，得，即，所以实数的取值集合为.故选D.

2.C  因为，所以，所以，所以.故选C.

3.A  若直线与圆相切，则，解得或，所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选A.

4.C  依题意，该几何体由两个长方体构成，其体积为.故选.

5.D  对于选项A，当，时，符合，但，故选项A错误；对于选项B，小芳买了体育彩票，不一定能中奖，故选项B错误；对于选项C，因为向量，是单位向量，当，方向相同时，，否则，故选项C错误；对于选项D，由题意知，1和是方程的两个根，则由根与系数的关系，得解得所以，故选项D正确.故选D.

6.C  因为，，所以，，所以

.

故选C.

7.A  因为，所以，所以，，所以在处的切线方程为，令得.故选A.

8.B  由，所以，即，所以，因为，所以.因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以.故选B.

9.B  由程序框图知，当，，第一次运行，；第二次运行，；第三次运行，，第四次运行，，终止运行，所以判断框中应填写的条件是“？”.故选B.

10.D  由图知，，函数的图象的最小正周期，所以，所以，因为点在的图象上，所以，所以，因为，所以，所以，故选项A错误；所以，令，解得，所以的图象的对称轴方程为，故选项错误；由，得，所以，即不等式的解集为，所以选项错误；令得，即的单调递增区间为，因为，所以选项D正确.故选D.

11.A  因为是的中点，是的中点，所以，因为平分，所以，因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选A.

12.D  因为时，，，即将的图象向右平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的2倍.如图所示：

当时，，令，得或（舍去），若时，成立，则，所以实数的取值范围为.故选D.

13.  因为所以，所以

14.  因为，所以，所以.

15.72  因为M，N是C上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，，由双曲线的定义可得，所以，又因为，所以，所以，所以四边形的面积.

16.  设外接圆的圆心为，因为正三角形的外接圆半径为，即，由正弦定理，得，所以，要使二棱锥的体积最大，则平面，且球心在线段上，因为球的体积为，所以球的半径为，在中，由勾股定理得，所以三棱锥体积的最大值.

17.解：（1）设等差数列的公差为，因为，，

所以解得

所以.

所以.

设等比数列的公比为，因为，

所以，因为，

所以，解得（舍去）.

所以.

（2）由（1）知，

所以

所以，

两式相减

所以.

所以.

18.（1）证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，

取的中点，连接，，如图，

则且，

又且，

所以且，

所以四边形是平行四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）解：因为直三棱柱中，，

所以，，两两垂直，

因为E，F分别是，的中点，，

所以，.

取的中点，连结，，得，，

所以的面积，

的面积.

不妨设点到平面的距离为，

因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

所以，

解得.即点到平面的距离为.

19.解：（1）因为，，，，

补充列联表如下：

因为，

因为，

所以有90%的把握认为喜欢“雪上项目”或“冰上项目”与性别有关.

（2）由（1）知选择“冰上项目”的学生中，男生有20人，女生有25人，

从喜欢“冰上项目”的学生中，用分层抽样的方法随机选出9人，

则在男生中抽取4人，记为a，b，c，d，在女生中抽取5人，记为A，B，C，D，E，

则所有的基本事件为ab，ac，ad，aA，aB，aC，aD，aE，bc，bd，bA，bB，bC，bD，bE，cd，cA，cB，cC，cD，cE，dA，dB，dC，dD，dE，AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共36个.

设“抽取的2人性别不同”为事件A.则A包含的基本事件为aA，aB，aC，aD，aE，6A，bB，bC，bD，bE，cA，cB，cC，cD，cE，dA，dB，dC，dD，dE，共20个，

所以，

故2人性别不同的概率为.

20.解：（1）由题设知，抛物线的准线方程为，

由点到焦点的距离等于圆的半径，

而可化为，即该圆的半径为6，

所以，解得，

所以抛物线C的标准方程为.

（2）由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为.

因为，不妨设直线的方程为，直线的方程为，

联立得，恒成立.

设，，

则，，

所以，

同理，将换成，得，

所以四边形MPNQ的面积

，（当且仅当时等号成立）

所以四边形MPNQ的面积的最小值是128.

21.解：（1）因为，所以，

所以，今，则，

今得，令得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以的极大值（也是最大值）为，即恒成立，

所以在单调递减.

（2）因为，，所以对任意恒成立，

法一：因为，，

所以对任意恒成立，

今，，

令，恒成立，

所以在上单调递减，

所以，即，

所以在上单调递减，

所以，

即，所以实数的取值范围是.

法二：令，

所以，

今，则.

①当，即时，在上是增函数，

所以，

由，得，与矛盾，所以无解.

②当，即时，在上是减函数，

所以，

由，得，所以.

③当，即时，在上是减函数，在上是增函数，

当，即时，

，得，所以.

当，即时，

，得，所以.

综上所述，实数的取值范围为.

22.解：（1）由（t为参数）消去参数t得，即为直线l的普通方程.

由，得，

因为，，，

所以，即为曲线的直角坐标方程.

（2）由（1）知曲线的平面直角坐标方程为，

配方得，

设，

对，令得；令得，

所以，，所以，

则到直线的距离，

当（其中）时，取最大值.

故此时的面积最大值为.

23.解：（1）因为，

当时，不等式化为.无解；

当时，不等式化为，所以；

当时，不等式化为，所以；

所以.

（2）集合中元素的最小值，因为，所以.

又因为

.

所以的最小值为3，当且仅当，，时取等号.