2021-2022学年四川省雅安市高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

四川省雅安市2021-2022学年高二下学期期末考试

数学试题（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. 复数的虚部是（    ）

A  B.  C.  D.

2. 下列说法错误的是（    ）

A. 线性回归直线一定过样本点中心

B. 在回归分析中，为0.91的模型比为0.88的模型拟合的效果好

C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D. 在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强

3. 向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

4. 已知条件p：函数的定义域，条件q：的解集，则p是q的（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 设X为随机变量，且，若随机变量X的方差，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 曲线在点P处切线与直线垂直，则点P的横坐标为（    ）

A.  B. 1 C. 3 D.

7. 将甲、乙、丙、丁4名志愿者分配到A、B两个社区参加防疫工作，每个社区至少去一名，则甲、乙不在同一社区的分配方法种数为（    ）

A. 14 B. 10 C. 8 D. 6

8. 已知命题，；，那么下列命题正确的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

9. 在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（    ）

A. 15 B. 45 C. 135 D. 405

10. 设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（    ）

A.  B.  

C.  D.

11. 若函数，给出下面结论：①为奇函数，②时有极大值，③在单调递减，④．其中正确的结论个数（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

12. 若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  

C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 命题“，”的否定是______．

14. 已知i为虚数单位，复数，若，则______．

15. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．

16. 设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

17. 随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红，有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害．为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对高二年级的学生进行网络搜题的情况进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到下面2×2列联表．

（1）试运用独立性检验的思想方法分析，并判断是否在犯错误的概率不超过5%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？并说明理由．

（2）现采用分层抽样的方法，从偶尔或不用网络搜题的学生中抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取3人进行座谈，记男生人数为X，求X的分布列及数学期望．

附：．

18. 已知是函数的极值点

（1）求m的值；

（2）证明：当时，恒成立．

19. 某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得一些数据如下表所示：

作出这组数的散点图如下

（1）请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第196天这株幼苗的高度（结果保留整数）．

附：，    参考数据：

20. 如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，，，，，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且．

（1）证明：平面平面EBCD；

（2）已知点P在棱上，且，求二面角的余弦值．

21. 已知命题在R上恒成立；命题q：函数，若对任意，恒成立；

（1）如果命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）命题“”为真命题，“”为假命题，求实数a的取值范围．

22. 已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．

答案

1-12 ADCAB  CCDCB  DA

13. ，

14.

15.

16.

17.（1）因为

所以，能在犯错误的概率不超过的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关．

（2）从偶尔或不用网络搜题的学生中抽取一个容量为7的样本，

故男生3人，女生4人，所以X的可能取值为0，1，2，3

，，

，，

所以X的分布列为：

故的数学期望为.

18.（1），，

∵是的极值点，

∴，解得，

经检验，满足题意，；

（2）要证在时恒成立，即证恒成立，

令，，则，

∵，∴，，在单调递增，

，∴恒成立，

当时，.

19.（1）根据散点图，更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；

（2）令，则构造新的成对数据，如下表所示：

容易计算，，．通过上表计算可得：

因此

∵回归直线过点，∴，

故y关于的回归直线方程为

从而可得：y关于x的回归方程为

令，则，所以预测第196天幼苗的高度大约为29cm．

20.（1）证明：在等腰梯形ABCD中，，∴，∴

，，，∴，，

在中，知，∵，∵，∴

，EC，面EBCD，，∴面EBCD

∵面，∴面面EBCD

（2）由（1）知面EBCD，

∴以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系

∴，，，

设∵，∴，∴，∴

设是面CEP的法向量，

∴，∴，令，

∴，，

设是面DEP的法向量，

∴，∴，∴

令，∴，，

由图知，二面角的余弦值为锐二面角，余弦值

21.（1）若在R上恒成立，则在R上恒成立，

因此，令，，

令，，令，；

在单调递减，在单调递增，

所以

，，即命题p为真命题时，

所以实数a的取值范围

（2）由命题“”为真命题，“”为假命题，可知p，q一真一假，

当q为真命题时，，恒成立，

，

∴在R上恒成立

∴在R上单调递增，

∴在R上恒成立

∴恒成立，

∴，∴，，得

若p真q假，则，∴；

若p假q真，则，∴

综上，

22.（1）∵，

当，，

∴在单调递增

当时，，

令，得，得

∴在单调递增，在单调递减

综上：时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减；

（2）∵，

∴，

∴，

∴

令，

∴

令，

∴在单调递减，

∵

∵

∴，使得，即，

当，，，单调递增，

当，，，单调递减，

∴，

∵，，

∴，

∴m的最小值为3