2021-2022学年吉林省长春吉大附中学校高二下学期期末考试数学试题含答案

吉林省长春吉大附中学校2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（客观题60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 已知集合，，则集合的元素个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：A

2．命题：“”的否定是（C）

A．　　       B．

C．          D．

3. 函数的值域是

A． B． C． D．

解析：D

4. 敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.例如对学生在大型考试中有过抄袭，现有如下调查方案：

在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题.被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题；若抽到红球，则回答问题，且罐中只有白球和红球.

问题：你的生日是否在7月1日之前？（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为）

问题：你是否在大型考试中有过抄袭？

已知一次实际调查中，罐中放有红球30个，白球20个，调查结束后共收到1583张有效答卷，其中有389张回答“是”，如果以频率替代概率，问该校该年级学生有过抄袭的概率是(四舍五入精确到0.01)

A．0.06                            B．0.07 

C．0.08                            D．0.09

解析：C

5.设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的

A．充分不必要条件                    B．必要不充分条件 

C．充要条件                            D．既不充分也不必要条件

解析：B

6.定义在上的函数满足对任意的（）恒有，若，，，则

A．                        B． 

C．                            D．

解析：B

7. 若函数，则函数的最小值为

A．                        B． 

C．                         D．

解析：D

8.已知函数（为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是（参考数据：，,，）

A．5    B．6     C．7     D．8

解析：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 以下四个命题中，说法正确的是

A．在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好；

 B．在判断一对分类变量是否具有关联性时，计算，那么我们有99.9%的把握认为这两个分类变量是有关的

    C．残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高；

D．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1.

附：

解析：ABC

10．已知函数则

A．是的切线           B．是的切线

C．是的切线     D．是的切线

解析：ABD

11． 现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组

A．若报名没有任何限制，则共有 种不同的安排方法

B．若报名没有任何限制，则共有 种不同的安排方法

C．若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法

D．若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法

解析：BD

12．已知函数有两个零点，则下列说法正确的是

 A．  B． 

 C．  D．有极小值点，且

解析：ABD

第Ⅱ卷（客观题90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．若随机变量，若则             ．

解析：

14．已知随机变量，若，则=                ．

解析：0.2173

15．在10张百元纸币中混有3张假币，从中任意抽取2张，将其中1张在验钞机上检验发现是假币，则这2张都是假币的概率是            ．

解析：

16．设函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为              ．

解析：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）设为实数，函数.

  （1）求的极值；

  （2）若曲线与轴仅有一个交点，求的取值范围.

解析：，令，解得.

，极小值；，极大值.

所以当或时函数曲线与轴仅有一个交点.

18．（本小题12分）若，，则

（1）求；

（2）求的值；

（3）求的值.

解析：； ；

19．某市统计了该市近五年的环保投资额（万元）得下表：

以为解释变量，为响应变量，若用作为经验回归方程，则决定系数，若用作为经验回归方程，则决定系数.

（I）判断与哪一个更适合作为年环保投资额关于年份代号的经验回归方程，并说明理由；

（II）根据（I）的判断结果及表中数据，求出关于年份代号的经验回归方程.

参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：，，.

【解析】

 (1)由，可知的拟合效果更好，所以更适合作为年环保投资额关于年份代号的经验回归方程.

(2)

由表格数据，得，

，

，，

由公式，得，

，

所以关于的经验回归方程为.

20．（本小题12分）

 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上件作品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，，，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

（I）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；

    （II）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为重量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望；

（III）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率.

解析：

（I）根据直方分布图知，重量超过克的件数为

（II）根据题意，这是一个有限总体的不放回抽样，所以服从超几何分布.件产品中超过克的产品有件，未超过的有件，的可能取值为.

∴，，

所以

（III）因为在流水线上抽取产品，所以该试验可理解为重独立重复试验，定义事件“产品超过505克的件数为”，则，根据题意有

.

21．（本小题12分）已知函数

（1）讨论函数的单调性；

(2)设如果对任意，，求的取值范围.

解析：(Ⅰ)的定义域为，.

当时，，故在单调递增；

当时，，故在上单调递减；

当时，令，解得.

则当时，；  当时，.

故在上单调递增，在上单调递减．

(Ⅱ)解法一：不妨假设，而，由（1）知在上单调递减，从而，，

等价于

，       （）

令，  则

（）等价于在上单调递减，

即,从而，

故的取值范围为．

22．（本小题12分）

 随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论．在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性．元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．现有（，）种电子元件，每种2个，每个元件的可靠性均为（）．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．现要用这个元件组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作．

（1）（i）分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性、（用和表示）；

（ii）比较,的大小，判断哪种连接方案更稳定可靠，并给出证明.

（2）设，，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的元件个数为，求随机变量的分布列和数学期望．

解：（1）（i）按方案①建立的电路系统的可靠性；

按方案②建立的电路系统的可靠性为；

（ii）．

令，且，则．

当时，，从而，所以在上单调递增；

当时，，即．

所以，，按方案②建立的电路系统更稳定可靠．

（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为，由此可知，．

，，，

，；

所以，随机变量的分布列为

．