2021-2022学年四川省凉山州高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

凉山州2021-2022学年度下期期末检测试卷

高二数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）

1. 设集合，，则集合（    ）．

A.  B.  C.  D.

2. 复数，则z的虚部为（    ）．

A. 3 B.  C.  D.

3. 已知某5个数据平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3．则这6个数据的平均数和方差分别为（    ）．

A. 3，2 B. 3， C. ， D. ，

4. 中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比T从9提升到39，则C大约增加了（    ）．（附：）

A 20％ B. 40％ C. 60％ D. 80％

5. 若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（    ）．

A.  B.  C. 2 D.

6. 已知、表示两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ）

A. ，， B. ，

C. ，， D. ，，

7. 已知函数，若在上有且仅有一个极值点，则整数的最大值为（    ）．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 已知命题p：函数在上单调递减；命题，都有．若为真命题，为假，则实数a的取值范围为（    ）．

A.  B.

C.  D.

9. 平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

10. 已知等差数列，，，则数列的前8项和为（    ）．

A.  B.  C.  D.

11. 已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

12. 已知，，，则（    ）．

A.  B.  

C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

13. 已知向量，，若，则______．

14. 如果曲线在点处的切线与直线垂直，则______．

15. 某城市2017年到2021年人口总数与年份的关系如表所示，据此估计2022年该城市人口总数______(单位十万)．

（参考数据和公式：，）

16. 函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：

①函数的最小正周期为2；

②若，则；

③函数在区间上单调递增；

④函数，所有零点之和为12．

其中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）

17. 以直角坐标系原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和．

（1）求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；

（2）若射线与圆的交点为P，与圆的交点为Q，求的值．

18. 已知数列的前n项和．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

19. 2022年2月4日，第24届冬奥会在中国北京和张家口举行．冬奥会闭幕后，某学校从全校学生中随机抽取了400名学生，对其是否收看冬奥会进行了问卷调查，统计数据如下：

（1）根据上表说明，能否有99.5％把握认为，是否收看冬奥会与性别有关？

（2）现从参与问卷调查且没收看冬奥会的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取6人参加冬季运动宣传培训会．若从这6人中随机选取2人，求选取的2人中有1名男生1名女生的概率．

附：，其中．

20. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，．

（1）若E为PA的中点，求证平面PBC；

（2）求四棱锥的体积．

21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．

（1）求C的方程；

（2）直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．

22. 已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围．

答案

1-12 CBBCA  CBAAB  DC

13. 2

14. 1

15. 19.6

16. ②③④

17.（1）圆，即，则，

圆，即，则，

两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：．

（2）将代入圆和圆的极坐标方程得：，，

所以．

18.（1）解：因为，当时，，

当时，，所以，

当时，也成立，所以．

（2）解：因，所以，

所以．

19.（1）∵，

∴有99.5％的把握认为是否收看冬奥会与性别有关．

（2）采用按性别分层抽样的方法，选取6人，

则男生有人，女生有人，

男生2人编号为1、2，女生4人编号为a、b、c、d，

则从这6人里面选取2人有如下15种等可能结果：

ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12，

其中有1名男生1名女生的结果有8种，

故所求概率为．

20.（1）证明：如图所示，取PB中点为F，连接EF，FC．

∵E为PA的中点，∴且．

又∵，，∴EFCD为平行四边形，即，

且平面PBC，平面PBC，

所以平面PBC．

（2）取中点，连接，则与平行且相等，平行四边形，

所以，又，，

则，所以，

又因平面ABCD，．

∴四棱锥的体积．

即四棱锥的体积为．

21.（1）由题意知，解得，，，所以C的方程为．

（2）证明：设点（不妨设，则点，

由，消去y得，所以，，

所以直线AE的方程为．

因为直线AE与y轴交于点M，令得，

即点，同理可得点．

所以，，

所以，所以，同理．

则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．

综上所述，M，，N，四点共圆．

22.（1）由题意知：．

当时，，，函数单调递增；

当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增．

综上，时，在上单调递增；

时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，，即不合题意；

当时，由（1）可知，

则，即．

综上，a的取值范围为．