2021-2022学年山西省运城市名校高二下学期2月开学摸底考试数学试题含答案

运城市名校2021-2022学年高二下学期2月开学摸底考试

数学试卷

（考试时间：120分钟）

一、单选题（60分）

1．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（   ）

A．9             B．8              C．64             D．16

2．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　）

A．（0，1） B．（1，0） C． D．

3．设x，，向量，，且，，则（   ）

A．  B． C．3 D．4

4．在等比数列中，是方程的根，则的值为（   ）

A． B． C．或 D．或

5．如图，在棱长为1的正方体中，M是的中点，则点到平面MBD的距离是（   ）

A． B． C． D．

6．若1，m，9三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（   ）

A．或        B．或2          C．或          D．或2

7．函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

8．已知双曲线：的右焦点为，过点作直线与交于，两点，若满足 的直线有且仅有1条，则双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．或

9．若数列是等差数列，其公差，且，则（   ）

A．18 B． C． D．12

10．圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论不正确的是（   ）

A．直线l与圆C相交          B．的最小值是1

C．从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3

D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是

11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ）

①如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

②最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

③甲乙不相邻的排法种数为72种

④甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

 A．①②        B．②④       C．①③        D．①②③④

12．定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（   ）

A． B．       C．      D．

二、填空题（20分）

13．若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有__________种．

14．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为_________

15．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3，a5，a10成等比数列，则_________

16．如图，双曲线：的左、右焦点，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率是___________

三、解答题（70分）

17．（10分）

(1)若，求正整数；    

  (2)已知，求

18．（12分）

在公差不为零的等差数列中，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式;    

（2）令，求数列的前项和

19．（12分）

已知，其中.

(1)若,求在处的切线方程；

(2)若是函数的极小值点，求函数在区间上的最值；

(3)讨论函数的单调性.

20．（12分）

如图，四梭锥中，，为中点.

（1）求证：；

（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

21．（12分）

已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，当点到直线的距离取最大值时，．

（1）求椭圆的标准方程；   

（2）若，求的面积．

22．（12分）

已知函数，其中

（1）讨论的单调性；

（2）若函数，证明：当时，.

运城市名校2021-2022学年高二下学期2月开学摸底考试

数学答案

一、单选题：BCCBA    DAABA   DA

二、填空题： 13．  23      14．     15．         16．

17．(1)由得，

，又，

∴，即，

∴正整数为8.

(2)由得，

，

∴即，

解得或，又，

∴，

∴.

18．(1)由题意，设等差数列的公差为，

则，，

因，，成等比数列，，即，

化简整理，得，解得(舍去)，或，

所以数列的通项公式为，；

(2)由(1)，可得，

所以

，

所以数列的前项和.

19．解：(1)当时，，，

切点坐标为，，切线的斜率为，

切线方程为，即.

(2)，是函数的极小值点，，即，，令，得或，令，得，的单调递增区间为，，的单调递减区间为，，函数在区间上的最大值为5，最小值为.

(3)函数的定义域为，，令得，.

①当时，，函数在R上单调递增；

②当时，，令，得或，令，得，

的单调递增区间为，，的单调递减区间为 ；

③当时，，令，得或，令，得，

的单调递增区间为，，的单调递减区间为.

综上：时，，函数在R上单调递增；

时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；

时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

20．（1），，

又为中点，则有，

∥，，

∵

平面，

∵平面，

所以.

（2）方法一：由（1）知：平面，

即为二面角的平面角，

所以，所以

过点作于，记，

中：

又面，

到面的距离与到面的距离相等，

方法二：以为原点，为轴，轴，垂直平面向上方向为轴，

如图建立空间直角坐标系，令，则；

因为二面角的余弦值为，设，则；

所以，则又，

设平面的法向量为，则

取，则，所以，

令直线与平面所成角为，

则.

由，得

21．解：（1）设椭圆的半焦距为，当点到直线的距离取最大值时，轴，此时，

又椭圆的离心率，所以，解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，，直线的方程为．代入椭圆的方程消去，

得，，解得，

由韦达定理得，①   ，②

若，则，

所以，

代入①②得，，

消去，得，  解得，

所以，

所以的面积为．

22．（1），.

若，，在内单增，在内单减.

若，由知，.

当，即时，，此时在内单增.

当，即时，.

此时在，内单增，

在内单减.

（2）因为，

所以就是，即.

令，，则，，

，.

由得，，易知是的最小值.

于是，在时单增，

所以，在时单增.

故当时，，即