2021-2022学年河南省安阳市内黄县第一中学高二上学期培优部开学检测数学（理）试题含解析

2021-2022学年河南省安阳市内黄县第一中学高二上学期培优部开学检测数学（理）试题

一、单选题

1．不等式组的解集为D,有下面四个命题：

， ，

，

其中的真命题是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】试题分析：画出可行域，如图所示，设，则 ，当直线过点 时，取到最小值， ，故的取值范围为 ，所以正确的命题是，选B．

【考点定位】1、线性规划；2、存在量词和全称量词．

【详解】2．已知数列的通项为，则“”是数列递增的（       ）条件

A．充分非必要 B．充要条件 C．必要非充分 D．既非充分也非必要

【答案】B

【分析】由可得，由数列递增可得恒成立，进而可得，然后利用充要条件的定义即得.

【详解】因为，

若，则，

所以，

若数列递增，则，恒成立，

∴，即恒成立，

所以，

故“”是数列递增的充要条件.

故选：B.

3．若“，使成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题即可求解.

【详解】若“，使成立”是假命题,则，使成立是真命题，即，，

令，则，则在上单调递增，，则.

故选:C.

4．已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于(　　)

A．10 B．9 C．8 D．5

【答案】D

【详解】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,

即cos2A=,

又因△ABC为锐角三角形,

所以cosA=.

△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,

即b2-b-13=0,

即b=5或b=-(舍去),故选D.

5．等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式，列出关于等差数列公差的方程，求出，再利用等差数列的前项和公式，即可求出结果.

【详解】因为设等差数列的公差，且，

若、、成等比数列，

所以，所以，

所以，即，

所以的前项的和为.

故选：A.

6．在中，，BC边上的高等于,则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：设

,故选C.

【解析】解三角形.

7．若，满足，且的最小值为，则的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：作出不等式组，所表示的平面区域，如下图：

由图可知：由于直线过定点，只需它还过点即可，

，解得：．

故选D．

【解析】线性规划．

8．已知数列满足，，则的前10项和等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】运用等比数列求和公式计算即可.

【详解】由题，，所以，

所以 是公比 的等比数列， ，

；

故选：C.

9．在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（       ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】B

【分析】利用成等比数列列方程，化简求得的值.

【详解】，

由于是等比数列，所以，

即.

故选：B

10．如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题中条件，在中先由余弦定理求出，利用同角三角函数关系求出，利用正弦定理可求出，然后在中利用正弦定理求解

【详解】解：设，则，

在中，由余弦定理可得，，

所以 ，

在中，由正弦定理得，，

则 ，

所以，

在中，由正弦定理得，，则

，

故选：D

【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题.

11．设，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（ ）

A．25 B．50 C．75 D．100

【答案】D

【详解】由题可知函数的周期为则为该函数的两个周期，作函数的图象如下，数列的前项均为正数，第项到项也均为正数，第到项均为负数，第到项也均为负数，，当或时，，而，故，故均是正数.答案为D.

【点晴】本题是借助于三角函数的性质考察数列的题型，利用图像将正负值呈现出来，结果不难得出，但在做题的过程中要注意到问题的内容，容易误把数列前项和的正负与数列的项的正负混淆，从而误求为，其实根据三角函数的有关知识和数列的通项公式，可以求出数列的哪些项是正数，哪些项是正数，且可以判断数列的和均为正.

12．已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点,,与函数的图像从左至右相交于,．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出函数图像，结合图像计算四点的横坐标，然后求出线段和在轴上的投影长度，，代入，表达关于的函数，整理后，换元法利用基本不等式求最小值.

【详解】作出函数图像如图，如图所示，

设点，，，，

则，，

此时有，，，，

解得，，，，

线段和在轴上的投影长度分别为，

，，

则 ，令，

则，

当且仅当，即时取得最小值，此时的最小值为.

故选：B.

【点睛】（1）求最值几个常见的两个方向：一是解不等式求范围产生最值；二是利用函数求最值，其中利用函数求最值是首选；

（2）函数求最值又常见两种类型：一是给出函数表达式求最值，二是没有表达式求最值，此类问题需首选要寻找合适的变量，表达函数关系式；

（3）求函数最值常用的方法有利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．如果是分段函数，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．

（4）本题属于没有函数表达式求最值，取自变量为，分别表达线段和在轴上的投影长度，，代入，得到关于的函数关系式，通过基本不等式求出最小值，属于难题.

二、填空题

13．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分，△ABD面积是△ADC面积的2倍．则________．

【答案】

【分析】结合正弦定理以及三角形的面积公式求得正确答案.

【详解】由于AD平分，△ABD面积是△ADC面积的2倍，

所以，

所以,

由正弦定理得.

故答案为：

14．若正数满足，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】由，结合基本不等式得出的最小值.

【详解】由，可得.

又，所以(当且仅当时等号成立).

故答案为：

15．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】理解题意转化为最值问题求解

【详解】若对于，，使得，则等价为

是定义在上的奇函数，，当时，，则当时，，

，，，则满足，解得.

故答案为：

16．若不等式组表示的平面区域是三角形，则实数的取值范围是______

【答案】或

【解析】根据题意，画出图形，表示一条经过点，斜率等于的直线，当斜率满足大于零且小于或等于的斜率、或者斜率满足小于的斜率时，表示的平面区域是三角形，求出、的斜率即可求得实数的取值范围.

【详解】

如图所示，由于表示正方形内部区域，包含边界；

而表示一条经过点，斜率等于的直线

故当斜率满足大于零且小于或等于的斜率、或者斜率满足小于的斜率时，

表示的平面区域是三角形

则有

故应有，或

故答案为：或

【点睛】本题考查线性规划问题，根据可行域的形状分析斜率范围，考查数形结合思想，有一定难度.

三、解答题

17．已知，命题:函数的定义域为;命题;关于的不等式在上有解.

（1）若命题是真命题，求实数的取值范围;

（2）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）若命题是真命题，等价于在上恒成立，分别由和即可求解；

（2）由题意可知命题和命题一真一假，分别讨论真假、假真两种情况即可求解.

【详解】（1）.当为真时，在上恒成立，

①当，不等式化为，符合题意.

②当时，则，且故，

即当真时有.

（2）.

由题意知:当为真时，在上有解.

令，则在上递减，在上递增，

所以

所以当假时， ，

由（1）知当假时或，

又因为为真，为假，所以命题和命题一真一假，

当真假时，

所以解得，

当假真时，

或且，所以

综上所述：的取值范围是.

【点睛】方法点睛：不等式有解求参数常用分离参数法

若不等式（是实参数）有解，将转化为或有解，进而转化为或，求的最值即可.

18．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为

(1)求;

(2)若求△ABC的周长.

【答案】(1)(2) .

【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.

试题解析：（1）由题设得，即.

由正弦定理得.

故.

（2）由题设及（1）得，即.

所以，故.

由题设得，即.

由余弦定理得，即，得.

故的周长为.

点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

19．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.

(1)求和的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由等差等比的通项公式列出方程，求解得出通项公式；

（2）先得出数列的通项公式，再由错位相减法求和即可.

【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

由已知，得，而，所以

又，解得，所以

由，可得①

由，可得②

联立①②，解得，由此可得

所以数列的通项公式为，数列的通项公式为

(2)解：设数列的前项和为，

由，有，

故

上述两式相减，得

得.

所以，数列的前项和为.

20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.

试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.

在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.

故PA＝. 5分

（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.

在△PBA中，由正弦定理得，

化简得cos α＝4sin α.

所以tan α＝，即tan∠PBA＝ . 12分

【解析】（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.

21．2021年3月25日《人民日报》报道：“作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020-2021年度棉花产量约万吨．其中，新疆棉产量万吨，占国内总产量约．除了新疆，河南、河北、山东、湖北等也是我国的棉花主要产地．”某公司为响应国家扶贫号召，为某小型纺织工厂提供资金和技术的支持，并搭建销售平台．现该公司为该厂提供新疆棉吨，河南棉吨．该工厂打算生产两种不同类型的抱枕，款抱枕需要新疆棉，河南棉，款抱枕需要新疆棉，河南棉，且一个款抱枕的利润为元，一个款抱枕的利润为元．假设工厂所生产的抱枕可全部售出．

（1）求工厂生产款抱枕和款抱枕各多少个时，可获得最大利润，最大利润是多少？

（2）若工厂有两种销售方案可供选择，方案一：自行出售抱枕，则所获利润需上缴公司；方案二：由公司代售，则公司不分抱枕类型，让工厂每个抱枕获得元的利润．请问该工厂选择哪种方案更划算？请说明理由．

【答案】（1）该工厂生产款抱枕个，款抱枕时可获得最大利润，最大利润为元；（2）选择方案一更划算；答案见解析．

【分析】（1）根据不等关系列出不等式组，再利用几何意义求解即可；

（2）对于方案一：由得出工厂的利润；对于方案二：利用几何意义得出工厂的利润，从而作出判断；

【详解】（1）设该工厂生产款抱枕个，款抱枕个时，获得的利润为元．

则，即

目标函数，，得出直线

由图可知，当直线经过点时，取得最大值，即该工厂生产款抱枕个，款抱枕时可获得最大利润，最大利润为元．

（2）若工厂选择方案一，则其收益为元；

若工厂选择方案二，则工厂生产的抱枕越多越好，设其生产的抱枕个数为

则，，由（1）知

由图可知，平移直线，当，时，取得最大值，此时工厂的收益为元，故选择方案一更划算．

22．已知各项均为正数的数列的前 项和为，且满足，

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切的正整数都有

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.

【详解】试题分析：（1）将代入方程 得到，结合题中条件（数列 的各项均为正数，得到）求出 的值，从而得到的值；（2）由十字相乘法结合 得到的表达式，然后在 的情况下，由求出数列 的表达式，并验证是否满足该表达式，从而得到数列的通项公式；（3）解法一是利用放缩法得到

，于是得到 ，最后利用裂项求和法证明题中的不等式；解法二是保持不放缩，在 的条件下放缩为

，最后在 和时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.

（1）令得： ，即，，

，，即 ；

（2）由，得 ，

， ，从而，，

所以当时，，

又，；

（3）解法一：当时，，

.

证法二：当时，成立，

当时，，

则

.

【解析】本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题.