2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二上学期入学考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二上学期入学考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
C．直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是α
D．直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
【答案】D
【分析】直线的倾斜角与斜率的关系，即倾斜角存在斜率不一定存在，斜率存在倾斜角一定存在。
【详解】A.直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故错误，B.当时斜率不存在。C.只有当时，直线的倾斜角才是α
故选：D
【点睛】本题主要考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题。
2．下列命题正确的是（ ）.
A．如果非零向量、的方向相反或相同，那么的方向必与、之一的方向相同
B．若，则、、为三角形的三个顶点
C．设，若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】根据向量的线性运算和性质，对四个选项逐一判断正误即可.
【详解】当时，A选项错，
若，则、、三点共线或、、为三角形的三个顶点，B选项错，
若与不共线，则与不共线，C选项对，
若，则或(与反向共线，且)，D选项错，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了向量的有关概念和共线定理的运用，属于基础题.
3．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（ ）
A．{x|xm}B．{x|－nB>C，可得
a＝c＋2，b＝c＋1 ①
又因为3b＝20acsA，由余弦定理可知csA＝，则
3b＝20a· ②
联立①②，化简可得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－ (舍去)，则a＝6，b＝5.
又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D.
11．若O，M，N在所在平面内，满足，且，则点O，M，N依次为的（ ）
A．重心，外心，垂心B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
【答案】D
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】
解：因为，
所以，
所以O为的外心；
因为，
所以（）＝0，
即＝0，所以MB⊥AC，
同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB，
所以M为的垂心；
因为，
所以，
设AB的中点D，则，
所以，
所以C，N，D三点共线，即N为的中线CD上的点，且，
所以N为△ABC的重心．
故选：D．
12．一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：设正方体的棱长为，那么其内切球的半径，外接球的半径（对角线的一半），与各棱都相切的球的半径（面对角线的一半），所以比值是，故选C．
【解析】球与正方体
【方法点睛】考察了球与正方体的组合体的问题，属于中档题型，球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的对角线是直径．
二、填空题
13．若直线和直线垂直，则____．
【答案】0或
【分析】由，解得或，验证两条直线是否垂直由，得，解得即可得出．
【详解】若，解得或．
经过验证只有时，两条直线相互垂直．
若，
因为直线和直线垂直，
则，解得（验证分母不等于）
综上可得或0,故答案为0或．
【点睛】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，属于中档题．对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
14．已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】由且与不共线求解．
【详解】由题意得：且与不共线，即且，解得且．
故答案为：且．
15．三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为________.
【答案】3
【解析】作图，设，则，，
，求出，根据图像得，底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，进而求解可得答案
【详解】
根据可知，为三角形所在截面圆的直径，又平面平面，为等边三角形，所以在上，如图所示，设，则，，
，，
，，，
，当底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，此时，
故答案为：3
【点睛】关键点睛：解题关键是根据三角形的形状判断球心的位置，得出到平面的最大距离，难度属于中档题
16．已知，，且，则的最小值为______．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件.
【详解】因为，
且，
当且仅当时，等号成立，
所以．
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、解答题
17．已知平面得量满足：，，.
（1）求与的夹角；
（2）求向量在向量上的投影.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据条件可以求出，根据向量夹角的余弦公式即可求出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；
（2）可求出，从而得出，并求出，这样根据投影的计算公式即可求出投影．
【详解】解：（1），，，
，
，
，
又，，
；
（2），
，
向量在向量上的投影为：
．
【点睛】本题考查利用平面向量的数量积运算求向量夹角，以及向量投影的计算，考查运算能力．
18．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
（Ⅰ）求最大角的余弦值；
（Ⅱ）求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）第一步先将三边设为连续正整数，第二步，写出最大角的余弦定理，并小于0，第三步，解不等式；
（Ⅱ）第一步，先设边，根据上一问的结果，写出面积公式，第二步，根据二次函数性质求最值．
【详解】（Ⅰ）设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，
则cs θ＝，
化简得：n2－2n－3