2022-2023学年全国高二上学期开学摸底考试数学试卷A卷含解析

这是一份2022-2023学年全国高二上学期开学摸底考试数学试卷A卷含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全国2022-2023学年高二上学期开学摸底考试数学试卷 A卷考试时间：120分钟   满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是(   )
A. B. C. D.2.若集合，，则(   )A. B. C. D.3.若存在，使不等式成立，则实数m的最大值为(   )A.-3 B.-1 C.0 D.34.若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(   )A. B. C. D.5.已知函数，则的递减区间为(   )A. B. C.和 D.6.若，，且是函数的单调递增区间，则下列一定属于函数的单调递减区间的是(   )A. B. C. D.7.函数的最小正周期和最大值分别是(   )A.和 B.和2 C.和 D.和28.如图,在正四棱柱中,,,动点P,Q分别在线段,AC上,则线段PQ长度的最小值是(   )

A. B. C. D.9.设函数，则下列结论正确的是(   )A.的一个周期为 B.的图象关于直线对称C.的一个零点为 D.在上单调递减10.已知在中，，，，则下列结论中正确的是(   ).A.B.若，则为锐角三角形C.若，则为直角三角形D.若，则为直角三角形11.如图,在正方体中,P为线段上的动点(不包含端点),正方体棱长为1,则下列结论正确的有(   )A.直线与所成的角的取值范围是B.存在P点,使得平面平面C.三棱锥的体积为D.平面截正方体所得的截面可能是直角三角形12.下列说法正确的是(   )A.“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件B.直线与直线互相平行，则C.过，两点的所有直线的方程为D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13.某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________.14.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.15.已知函数的定义域为，则函数的最大值与最小值的和为____________.16.已知点P是直线上一动点，点Q是圆上一动点，则(O为坐标原点)的最小值为_________.三、解答题（本题共6小题，共70分。）17. （10分）已知集合，.（1）若A是单元素集，求满足条件实数a的值组成的集合；（2）若，，求实数a的值.18. （12分）已知函数对任意的实数m，n都有，且当时，有.（1）求的值；（2）求证：在R上为增函数；（3）若，且关于x的不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.19. （12分）已知函数图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)求函数在上的单调递减区间.20. （12分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
 （1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.21. （12分）信息时代人们对通信功能的要求越来越高，5G的拓展运营在西部得到某科技公司的大力推进.已知该公司现有1000名员工，其中女员工400名.为了解员工在某个月内推进5G运行指标的情况，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行调查，得到如下统计表：运行指标频率0.15m0.250.150.10（1）求m的值，并估计该科技公司该月推进5G运行指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；（2）若将推进5G运行指标不低于75的员工评为“璀璨之星”，已知该月被评为“璀璨之星”的男员工有10人，完成如下2×2列联表，并且判断是否有97.5%的把握认为被评为“璀璨之星”与性别有关. “璀璨之星”非“璀璨之星”合计男员工   女员工   合计   附：.0.1500.1000.0500.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.63522. （12分）已知圆与直线相交于不同的A、B两点.(1)求实数m的取值范围；(2)若，求实数m的值.  答案以及解析1.答案：D解析：是的充分条件，
，即.
故选D.2.答案：A解析：，所以，则.3.答案：C解析：本题考查不等式的存在性问题.由已知可得，存在使之成立，则.4.答案：A解析：本题考查一元二次不等式恒成立问题.当，即时，符合题意；当时，需满足且，即.综上，a的取值范围为.5.答案：C解析：本题考查反比例函数的单调区间.，根据定义可知，当时，随着x的增大，函数值y不断减小，当时，随着x的增大，函数值y也是不断减小，所以函数y的递减区间为和.6.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性及单调性.因为，所以是偶函数，因而在上一定单调递减.7.答案：A解析：本题考查三角函数的化简与性质.由三角函数，得其最小正周期为，最大值为.8.答案：C解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意，可设点P的坐标为，，点Q的坐标为，，则，当且仅当,时,线段PQ的长度取得最小值.9.答案：ABC解析：本题考查二角函数的图象与性质.对于A项，函数的周期为，，当时，周期，故A项正确；对于B项，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故B项正确；对于C项，，，所以的一个零点为，故C项正确；对于D项，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D项错误.10.答案：ACD解析：在中，因为，，，所以，故A正确.，则只能判定是锐角，不能判定是锐角三角形，故B错误.，则，所以为直角三角形，故C正确.，即，所以，又因为，所以，所以，则为直角三角形，故D正确.故选ACD.11.答案：BC解析：本题考查立体几何的综合应用.对于A选项,如图①,连接以D为原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则.则有,所以.令,,所以在上单调递减.因为,所以,又,故,故A选项错误.对于B选项,当P为的中点时,有,易证平面平面,故B选项正确.对于C选项,三棱锥的体积,故C选项正确.对于D选项,设的中点为O,连接.当P点在线段(不包含端点)上时,此时平面截正方体所得的截面为梯形,如图②;当P点在O点时,此时平面截正方体所得的截面为正三角形;当P点在线段(不包含端点)上时,此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形,如图③,该三角形不可能为直角三角形,故D选项错误.故选BC.12.答案：AB解析：对于A，当时，“直线与直线互相垂直”，当直线与直线互相垂直时，即，解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A正确；对于B，直线与直线互相平行，则，且，解得，故B正确；对于C，过，两点的直线的方程为，故C错误；对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程有两种情况：①经过原点的直线为，②当直线不经过原点时，设在坐标轴上的截距为a，则直线方程为，所以，解得，故，故D错误.故选AB.13.答案：760解析：设样本中女生有x人，则男生有人，所以，得，设该校高三年级的女生有y人，则由分层随机抽样的定义可知，解得.14.答案：解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.15.答案：6解析：由题意得函数的定义域关于坐标原点对称，设，则，函数为奇函数，函数的最大值与最小值的和为0，函数的最大值与最小值的和为6.16.答案：解析：由题可知，圆心，半径，如图所示，易知点O关于直线l的对称点为，连接AC，则，当且仅当点P，Q在AC上时，等号成立.17.答案：（1）当时，，满足题意；
当时，，此时，满足题意.
所以满足条件a的值组成的集合为.（2），，
、是方程的两个根，
代入可得.18.答案：（1）令，则，.（2）证明：任取，，且，则，.，，，在R上为增函数.（3），即，.，.又在R上为增函数，，对任意的恒成立.令，，只需满足即可.当，即时，在上递增，因此，由得，此时；当，即时，，由得，此时.综上，实数a的取值范围为.19.答案： (1)当时,取得最大值为.又图象上最高点的纵坐标为2,,即.又的图象上相邻两个最高点的距离为,的最小正周期,.(2)由(1)得,由,得.令,得.函数在上的单调递减区间为.20.答案：（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，
又的面积为，，
所以，即点A到平面的距离为.
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.21.答案：（1）根据题意，，解得，平均数.所以该科技公司该月推进5G运行指标的平均数约为67.（2）根据题意，利用分层抽样法可知所抽取的100人中男员工60人，女员工40人，被评为“璀璨之星”的有(人)，则被评为“璀璨之星”的女员工有(人)，则2×2列联表如下： “璀璨之星”非“璀璨之星”合计男员工105060女员工152540合计2575100则.所以有97.5%的把握认为被评为“璀璨之星”与性别有关.22.答案： (1)由消去y得，，由已知得，，解得，故实数m的取值范围是.(2)设圆C的半径为r，因为圆心到直线的距离为，所以，由已知得，解得.