2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期入学考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期入学考试数学试题含解析，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期入学考试数学试题

一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数幂的运算法则即可逐一求解.
【详解】对于A,，故A错，
对于B,,故B对，
对于C,,故C错，
对于D,，故D错，
故选：B
2．由五个正方体组成的几何体如图所示，则该几何体的俯视图为（　　）


A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图是从上往下看即可求解俯视图.
【详解】从正上方往下看，底层由3+1个正方体，顶层由一个正方体构成，顶层的正方体在俯视图中与底层右侧的重合，
故选：C
3．如图，两个全等的正方形的四种不同摆放中，中心对称图形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可得答案.
【详解】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后能与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形，
由此可知图中第2个和第3个图形为中心对称图形，
故选：B
4．网上一家电子产品店，今年1﹣4月的电子产品销售总额如图1，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2．

根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是（　　）
A．从1月到4月，电子产品销售总额为290万元
B．该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降
C．今年1﹣4月中，该款平板电脑售额最低的是3月
D．该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了
【答案】B
【分析】结合图1、图2即可计算出该款平板电脑1﹣4月份的销售额，即可出答案.
【详解】由图1可知从1月到4月，电子产品销售总额为万元，A正确；
该款平板电脑3月份的销售额为万元，
4月份的销售额为万元，
则该款平板电脑4月份的销售额比3月份多了万元，B错误；
该款平板电脑1月份的销售额为万元，
2月份的销售额为万元，
所以今年1﹣4月中，该款平板电脑售额最低的是3月10.8万元，C正确；
由图2可知该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了，D正确.
故选：B.
5．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】求解分数方程的解，利用解为正数即可确定的范围.
【详解】由得，故，根据题意可知：且，解得且，
故选：C
6．如图，直线l1与反比例函数的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线l2过原点O和点C．若直线l2上存在点P（m，n），满足∠APB＝∠ADB，则m+n的值可为（　　）

A． B．3或 C．或 D．3
【答案】A
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可作的外接圆，根据点的坐标，可计算长度，得是直角三角形，进而德,进而根据几何图形的关系可求圆心坐标以及的长度，进而可求点坐标，即可求解.
【详解】如图，作的外接圆，记为,交直线于点,连接,则，
建立如图所示的平面直角坐标系，则,由,故,
又轴，,故,,,
由于,因此为直角三角形，故,
因为又是的中点，故,
直线方程为：，设，
因为，
,
根据对称性可知，点关于点的对称点也满足，
故此时，
故选：A

7．如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接，若则为（　　）


A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】如图，连接，设的面积为.，利用等高模型的性质，用表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构造方程可得结论.
【详解】如图，连接，设的面积为.
















的面积为，
故选：A
8．一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（　　）

A．12种 B．13种
C．14种 D．15种
【答案】C
【分析】根据题意按照一定顺序，将所有的路线列举出来即可.
【详解】由题意这只小虫子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE, ABCDPFE,ABPDE,
共14种，
故选：C
9．为了开展好“招远市城市卫生专项”行动，某单位需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶50元/个，B型分类垃圾桶55元/个，总费用不超过415元，则不同的购买方式有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【分析】根据题意列不等式，求得未知数的范围，可得答案.
【详解】设购买A型分类垃圾桶x个，则B型分类垃圾桶买个，
故，解得，
又x，8-x均为负整数，故x可以为：5,6,7,8，
则不同的购买方式有4种，
故选：C
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的处，再将绕点E顺时针旋转α，得到，使得恰好经过的中点F，交AB于点G，连接．有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④．上述结论中，所有正确的序号是（　　）

A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】由折叠的性质可证四边形是正方形，可得，AE=AD=，，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得，，可求，可判断①；由锐角三角函数可求，由弧长公式可求弧的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求，可判断③；由，EG=EG可证，可得，可证，可判断④，即可求解．
【详解】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的处，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，AE=AD=，，
∴，
∵点F是中点，
∴，
∴，
∵将绕点E顺时针旋转α，
∴，，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴弧的长度，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，故④正确，
所以所有正确的序号为：①②③④．
故选：D．

二、填空题
11．据美国媒体报道，截止2021年6月11日，美国累计新冠肺炎确诊病例达到万，将数字万用科学记数法表示应为 ____________．
【答案】
【分析】根据科学计数法的概念直接得解.
【详解】万，
故答案为：
12．在函数中，自变量的取值范围是 _______．
【答案】
【分析】根据函数的解析式直接列出不等式，解不等式即可.
【详解】由可知，解得，
故答案为：.
13．如图，点D在 内部，△DAB≌△EAC，若添加一个条件：___________，则△ADE等边三角形．

【答案】AD＝DE（或∠DAE＝60°或∠BAC＝60°或AB＝BC等）（答案不唯一）
【分析】根据条件可得AD=AE，故添加一个条件能保证△ADE等边三角形即可
【详解】由△DAB≌△EAC，可得AD=AE,
故要使△ADE等边三角形，添加条件：AD＝DE即可；
故答案为：AD＝DE （答案不唯一）
14．若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则k的取值范围为 ________．
【答案】
【分析】求出方程组的解，用k来表示，根据题意列出不等式组，求得答案.
【详解】由，解得，
因为关于x，y的二元一次方程组的解为正数，
故，解得，
故答案为：
15．在一个不透明的袋中装有材质、大小完全相同的红球和黑球共100个，小明每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有_____个．
【答案】85
【分析】利用频率的计算公式代入即可得出答案.
【详解】因为摸到红球的频率稳定在0.85左右，
估计袋中红球有个.
故答案为：个.
16．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于弧AB的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 ______．


【答案】
【分析】连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF-OE=2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，FT，的长即可
【详解】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．


∵∠AOB=90°，，
∴∠BOF=60°，
∴的长=，
∵CE=DE，
∴OE=CD=2，
∵OF=4，
∴EFOF-OE=2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF=2，
∵OF=OB，∠BOF=60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT=TF，
∴BT⊥OF，
∴BE=BT=，
∴此时阴影部分的周长为．
故答案为：
17．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝cm，点O以2cm/s的速度在△ABC边上沿A→B→C→A的方向运动．以O为圆心作半径为cm的圆，运动过程中⊙O与△ABC三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为_______秒．

【答案】
【分析】求出从首次相切到第三次相切时，圆心移动的距离即可，画出两次相切时的图形，利用直角三角形的边角关系和切线的性质求出答案.
【详解】如图，圆O与△ABC的边首次相切，切点为，第三次相切时，切点为，
因为，∠A＝30°，，所以，
因为∠B＝45°，，所以，
所以从首次相切到第三次相切时，圆心移动的距离为：
，
所以从首次相切到第三次相切时的时间间隔为：.
故答案为：

18．如图，在中，，，点在的延长线上（不含点），连接并以为直角边作等腰直角，其中，，连接交于点，当为等腰三角形时，________．

【答案】或2
【分析】先根据与均为等腰直角三角形可证，从而又，再分或或三种情况分别讨论，由等腰对等角、勾股定理计算、三角形外角性质计算即可.
【详解】、均为等腰直角三角形，
，，，
，
，，，
，
①当时，，
，，
如图，

在上截取，连接，
，
，
，
设，，，
，解得：，
，
②当时，，
，，
，
③当时，，
，这与矛盾，
综上所述，或，
故答案为：或.
19．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为 __________．


【答案】
【分析】根据对称性质可推得，即可求得，从而求得AB,OC的长，即可求得答案.
【详解】由题意知N为BM的中点，连接AN,则 ,


故 ,又因为,,
而,故，
而,故，
由EN=1，则,则 ，
在中，BC=5，故，
故，
故答案为：
20．如图，在中，，，，为斜边上的中线，过点作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；次作下去，可以得到点，点，，点，分别记，，，，的面积为，，，，，则第个三角形的面积_______．

【答案】
【分析】首先由中，，，，求得的面积，然后由是斜边的中点，根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，再利用中，为其重心可得，然后从中找出规律即可解答.
【详解】中，，，，
，
，
，，即,
与同底同高，面积相等，以此类推，
，
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：，，，
在中，为其重心，
又为三角形的中位线，
，
，且相似比为，即，
，
，，，
，，，，
，
故答案为：.

三、解答题
21．先化简再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】根据四则运算直接化简计算.
【详解】



；
又，，
所以原式.
22．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(4,4)，请解答下列问题：

(1)画出△ABC关于y轴对称的 ；
(2)将△ABC绕点C逆时针旋转 ，画出旋转后的 ；
(3)在（2）的条件下，求AC扫过的面积．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)

【分析】（1）找出△ABC的各顶点关于y轴的对称点，连接可得答案；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转，即可画出旋转后的图形；
（3）根据扇形的面积公式即可求得答案.
【详解】(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)如图， 即为所求．
(3)由图可知AC＝，故AC扫过的面积为 .
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点D.

（1）若点C的坐标为（0，3），求该抛物线的解析式；
（2）E是线段AB上一动点（点E不与A、B重合），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，若EF＝AE，在（1）的条件下，试求点F的坐标；
（3）当a＜0时，设的面积为S1，的面积为S2，求值.
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）F（2，3）；（3）.
【分析】（1）将点代入即可求解；
（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，0），由EF＝AE，得﹣x2+2x+3＝x+1，解出x即可求解；
（3）设出抛物线方程，表示出C， D的坐标，表示出，即可求解
【详解】（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），代入y＝ax2+bx+c，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3.
（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，0），
∵EF＝AE，∴﹣x2+2x+3＝x+1，解得x＝2或x＝﹣1，
∵点E不与A、B重合，∴x＝2，∴yF＝﹣x2+2x+3＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点F（2，3）；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴点C坐标为（0，﹣3a），D坐标为（1，﹣4a），
如图连接CD，AD，且AD与y轴交于点M，过点D作DN⊥x轴于N，

∴，即，解得MO＝﹣2a，
∴CM＝CO﹣OM＝﹣3a﹣（﹣2a）＝﹣a，
，
S2＝×AB×DN＝×4×（﹣4a）＝﹣8a，
∴＝.
24．兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为 　 　；
(2)若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；
(3)在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】(1)作图见解析，90°
(2)不同，理由见解析
(3)作图见解析，

【分析】（1）先根据题意补全条形统计图，再由乘以使用现金人数所占比例即可得其对应的圆心角度数.
（2）根据众数的定义求解即可.
（3）画出树状图，共有9种可能的结果，其中嘉嘉和琪琪两人恰好选择同一种支付方式有3种，再有古典概率公式代入即可得出答案.
【详解】(1)补全统计图如图所示：
因为使用银行卡的人数由30人，占，所以使用现金人数有50人，应占，
所以“现金”支付的扇形圆心角的度数为：.
(2)重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝．
(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
25．从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小冲出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．

(1)求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间；
(2)分别求线段AB、EF所对应的函数关系式；
(3)从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)1千米

【分析】（1）先计算出小明骑车上坡的速度，再根据骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km求出小明平路上的速度，求出小明下坡的速度，平路上所用的时间,下坡所用的时间，那么就可以求出小明在乙地休息的时间；
（2）根据上坡的速度为10km/ h，下坡的速度为20km/h,再结合图像，即可求出答案;
（3）设小明出发a小时第一次经过丙地，根据题意得到，求出a的值,即可解答.
【详解】(1)小冲骑车上坡的速度为：，
平路上的速度为：，
下坡的速度为： ，
平路上所用的时间为：，
下坡所用的时间为：，
所以小冲在乙地休息了：；
(2)由题意可知：上坡的速度为，下坡的速度为，
所以线段AB所对应的函数关系式为：，
即，
线段EF所对应的函数关系式为，
即；
(3)由题意可知：小冲第一次经过丙地在AB段，第二次经过丙地在EF段，
设小冲出发a小时第一次经过丙地，则小冲出发后小时第二次经过丙地，，得：，
所以（千米），
答：丙地与甲地之间的距离为1千米．
26．如图，在四边形中，，与互余，在线段上取点，（点在之间），使．当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知，当为中点时，．


(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)求，的长．
(3)若，分别平分，，并交线段，于点，（点，不重合）．连接并延长交于点，如图2所示，若，当时，通过计算比较与的大小关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，
(3)

【分析】（1）根据同角的余角相等证，即可得出；
（2）当时，，当时，，代入函数解析式即可；
（3）连接并延长交于点，易证四边形是平行四边形，得出，求出，，，得出，，，，由勾股定理得，，当时，求出，即可得出.
【详解】(1)与的位置关系为：，理由如下：
如图1所示：
，
与互余，
与互余，
，
；
(2)令，得，，
令，得，；
(3)把代入，
解得：，即，
，
是中点，
，
，
，
解得：，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
是的一个外角，，
，
平面，
，，
在中，，
，
，
在中，，，
，
，
由勾股定理得：，
在中，
，
当时，，解得：，
，
，
.
27．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？
【答案】(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元
(2)答案见解析
(3)购进A种树苗52棵，B种树苗48棵所付工钱最少，最少工钱为2520元

【分析】（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，列方程组，即可求得答案；
（2）设购进A种树苗m棵，由题意列出不等式组，求得答案；
（3）计算在第（2）问的各种购买方案中每种方案的所付工钱，比较可得结论.
【详解】(1)设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，
根据题意，得：，解得：，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元；.
(2)设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
根据题意，得：
解得：52≤m≤53，
所以购买的方案有：
1、购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
2、购进A种树苗53棵，B种树苗47棵；
(3)方案一的费用为52×30+48×20＝2520元，
方案二的费用为53×30+47×20＝2530元，
所以购进A种树苗52棵，B种树苗48棵所付工钱最少，最少工钱为2520元．
28．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，．


(1)求k的值；
(2)如图2，P为y轴正半轴上一点，过点P作PD⊥AB于点D，交线段OA于点E，设点P的纵坐标为t，线段AD的长d，求d与t的函数解析式；
(3)如图3，在（2）的条件下，，点H在线段OP上，连接AH，，点G为第一象限内直线AP上方一点，连接PG、AG，，点F为第二象限内一点，连接OF、FH、FG，若，，，，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)d（）
(3)

【分析】(1) 设A坐标，根据直线交y轴负半轴于点B求出B的坐标，再根据求出A的坐标，将A代入即可求出k；
(2) 设，根据用含t的代数式表示D的横纵坐标，再根据求出 d与t的函数解析式；
(3) 先根据(2)的结论求出P的坐标，然后利用求出H的坐标，再根据 ，，判断出且，最后设，将其代入直线FH的解析式中即可求出F的坐标.
【详解】(1)（1）设，，
∵直线交y轴负半轴于点B，∴，
∴，
∴（另一值不符题意，舍去），∴，
∴，∴；.
(2)设，由题意可得，，
∵，∴，
∴，∴，
∵D在AB上，
∴，
∴，，
∴，()；
(3)∵，∴，∴，
∵，设，，∴，∴，∴
∵，，∴，
∴，∴，∵，，
∴直线AP的解析式为，∴直线FH的解析式为，
∵，∴，
∵，∴，
设，将其代入，可得，
∴．