初中华师大版22.1 一元二次方程课时练习

这是一份初中华师大版22.1 一元二次方程课时练习，共12页。试卷主要包含了若关于x的一元二次方程，已知关于x的方程，关于x的方程x2+2等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，满分40分）
1．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+（m﹣1）（m﹣3）＝0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1B．3C．1或3D．0
2．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．20%B．40%C．18%D．36%
3．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤B．k＜C．k≤且k≠1D．k≥且k≠1
4．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
5．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．﹣1或2B．1或﹣2C．﹣2D．1
6．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（ ）
A．B．C．D．0
7．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4
8．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（ ）
A．14B．15C．16D．25
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟
10．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A．7mB．8mC．9mD．10m
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．方程2x2﹣1＝的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
12．已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为 ．
13．某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛45场，则有 支球队参加比赛．
14．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2100元．
15．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB＝18m，AD＝15m，在绿地中开辟三条宽为xm的道路后，剩余绿地的面积为144m2，则x＝ ．
16．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
17．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到 秒时，点P和点Q的距离是10cm．
三．解答题（共6小题，满分45分）
18．解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
22．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
23．阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的，例如解方程x2﹣4x+4＝0，则（x﹣2）2＝0，∴x＝2．
x2﹣2x+y2+4y+5＝0，求x、y的值．则有（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，
∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0．解得x＝1，y＝﹣2．
程x2﹣2x﹣3＝0，则有x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0，
∴（x﹣1）2＝4．解得x＝3或x＝﹣1．
根据以上材料解答下列各题：
（1）若a2+4a+4＝0，求a的值．
（2）x2﹣4x+y2+6y+13＝0．求（x+y）2023的值；
（3）若a，b，c表示△ABC的三边，且a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：根据题意，知，
，
解方程得：m＝3．
故选：B．
2．解：设降价的百分率为x
根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16
解方程得，（舍）
∴每次降价的百分率为20%
故选：A．
3．解：当k﹣1＝0时，原方程为2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，
∴k＝1符合题意；
当k﹣1≠0时，∵方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，
∴，
解得：k≤且k≠1．
综上所述：k的取值范围为k≤．
4．解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
5．解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣m﹣1．
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m＝1．
故选：D．
6．解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
7．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
8．解：设平均每天一人传染了x人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝225，
（1+x）2＝225，
解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．
答：平均每天一人传染了14人．
故选：A．
9．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
10．解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）＝20，
解得：x1＝7，x2＝﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．解：方程2x2﹣1＝化成一般形式是2x2﹣﹣1＝0，
二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．
12．解：∵b2+2b﹣1＝0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b2，再乘﹣1变形为（）2﹣2•﹣1＝0，
∵ab≠1，
∴a和可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴a+＝2，
∴＝a+1+＝2+1＝3．
故答案为：3．
13．解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）＝45，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去），
故答案为：10
14．解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝50﹣x，
由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，
化简得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x＝20，
故答案为：20．
15．解：设道路的宽为xm，根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝144，
解得：x＝21或3，
x＝21不合题意，舍去，
答：道路的宽为3m．
故答案为：3．
16．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为：2019．
17．解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，
根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，
解得：x1＝2，x2＝．
答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
故答案为：2或．
三．解答题（共6小题，满分45分）
18．解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣2x﹣＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣．
19．解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
20．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形；
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，可整理为：
2ax2+2ax＝0，
∴x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
21．解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
22．解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200．
解得：x1＝20，x2＝10，
∵扩大销售量，增加利润，
∴x＝20，
答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；
（3）依题意，可列方程：
（40﹣x）（20+2x）＝2000，
化简，得x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0．
故方程无实数根．
故平均每天销售利润不能达到2000元．
23．解：（1）∵a2+4a+4＝0，
∴（a+2）2＝0，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2；
（2）∵x2﹣4x+y2+6y+13＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴x＝2，y＝﹣3，
∴（x+y）2023＝（2﹣3）﹣2023＝﹣1．
（3）△ABC为等边三角形．
理由：∵a2+b2+c2﹣ac﹣ab﹣bc＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ac﹣2ab﹣2bc＝0，
即a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．