2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题含解析

这是一份2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的交集运算，可求得答案.【详解】集合,故，故选：D2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的几何表示即得.【详解】∵复数z对应的点的坐标是，∴.故选：D.3．（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】.故选：B4．已知函数，则（       ）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【分析】由函数奇偶性的定义即可判断答案.【详解】由题意，，即函数为偶函数.故选：B.5．（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式即得.【详解】由二倍角公式可得，.故选：A.6．函数的图象如图所示，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合图象确定正确选项.【详解】由图象可知，当时，.故选：C7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（       ）A．0.24 B．0.14 C．0.06 D．0.01【答案】C【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.【详解】依题意，两地都降雨的概率为.故选：C8．下列函数中，在区间上单调递减的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.【详解】在上单调递增，故A不符题意；在上单调递减，故B符合题意；在上单调递增，故C不符题意；在上不单调，故D不符题意.故选：B.9．如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形．若，则该直三棱柱的体积为（       ）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】D【分析】根据棱柱的体积计算公式，可直接求得答案.【详解】因为在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，则 为直角，故可得： ,故选：D10．已知向量，则（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.【详解】.故选：B.11．“四边形为矩形”是“四边形为平行四边形”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】若四边形是矩形，则它是平行四边形，反之,若四边形为平行四边形，四边形不一定是矩形，所以“四边形为矩形”是“四边形为平行四边形”的充分不必要条件.故选：A.12．函数的定义域为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由真数大于0可得.【详解】由，得.故选：A13．如图，已知四边形为矩形，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知.故选：C14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“”表示乙组同学．从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是（       ）A．0.25 B．0.3 C．0.5 D．0.75【答案】C【分析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】根据图象可知，两个小组高于分的同学各有人，所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是.故选：C15．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可得B正确.【详解】在正方体中，记底面ABCD为，EF为m，EH为n，显然A不正确；记底面ABCD为，EF为m，平面CDHG为，故排除C；记底面ABCD为，EF为m，平面ABFE为，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.故选：B16．在中，，则（       ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得， .故选：D.17．已知a，b是实数，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】由于，所以，A选项正确.，BD选项错误.，C选项错误.故选：A18．已知，且，则的最小值为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由基本不等式即可求得答案.【详解】因为，所以，当且仅当时取“=”.故选：B.19．已知函数，，则（       ）A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值【答案】C【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.【详解】在上是增函数，所以最小值为，没有最大值.故选：C20．对于正整数n，记不超过n的正奇数的个数为，如，则（       ）A．2022 B．2020 C．1011 D．1010【答案】C【分析】根据题意求出正奇数的个数即可.【详解】由题意，不超过2022的正奇数有个.故选：C.二、填空题21．计算：=___________．【答案】1【详解】.故答案为122．某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下： 甲   8.1   7.9   8.0   7.9   8.1乙   7.9   8.0   8.1   8.5   7.5记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则：______（填“>”，“=”或“<”）．【答案】【分析】计算出，由此确定正确答案.【详解】甲的得分平均值为，.乙的得分平均值为，，所以.故答案为：23．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（），少数国家使用华氏温标（），两种温标间有如下对应关系：摄氏温标（）…01020304050…华氏温标（）…32506886104122… 根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断：①对应；②对应；③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．其中所有正确推断的序号是_____________．【答案】①②③【分析】根据条件可得，然后逐项分析即得.【详解】设摄氏温标为x ，对应的华氏温标为y ,根据表格数据可知∴，即，∴时，，时，，故①②正确；由，可得，即摄氏温标对应的华氏温标为，故③正确.故答案为：①②③.三、双空题24．已知函数则________；方程的解为________．【答案】     －2     1【分析】根据分段函数的性质求解即可.【详解】2×(－1)＝－2；x＜0时，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0时，x≥0，则，解得x＝1.故答案为：－2；1.四、解答题25．已知函数（m是常数）的图象过点．(1)求的解析式；(2)求不等式的解集．【答案】(1)；(2).【分析】（1）把点代入解析式可得，即得；（2）利用一元二次不等式的解法即得.(1)由题意，，所以．所以的解析式为．(2)不等式等价于．解得．所以不等式的解集为．26．已知函数．(1)写出的最小正周期；(2)求在区间上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值.(1)的最小正周期为：.(2)因为，所以．当，即时，取得最大值．27．阅读下面题目及其解答过程．如图，已知正方体．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：直线与平面不平行．解：（Ⅰ）如图，连接．因为为正方体，所以平面．所以①___________．因为四边形为正方形，所以②__________．因为，所以③____________．所以．（Ⅱ）如图，设，连接．假设平面．因为平面，且平面平面④____________，所以⑤__________．又，这样过点有两条直线都与平行，显然不可能．所以直线与平面不平行． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A．                       B．②A．                         B．③A．平面             B．平面④A．                                 B．⑤A．                       B．与为相交直线 【答案】（Ⅰ）①A   ②B   ③B；（Ⅱ）④A   ⑤A【分析】结合线面垂直、线面平行的知识对“解答过程”进行分析，从而确定正确答案.【详解】要证明，可通过证明平面来证得，要证明平面，可通过证明来证得，所以①填A，②填B，③填B.平面与平面的交线为，所以④填A，由于平面，因为平面，且平面平面，根据线面平行的性质定理可知，，所以⑤填A.28．给定集合，为定义在D上的函数，当时，，且对任意，都有___________．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使存在且唯一确定．条件①：；条件②：；条件③：．解答下列问题：（1）写出和的值；（2）写出在上的单调区间；（3）设，写出的零点个数．【答案】答案详见解析【分析】判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当时，的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意的定义域为，当时，.对于条件③，对任意，都有，以替换，则，这与矛盾，所以条件③不合题意.若选条件①，当时，，.（1）.（2）对于函数，任取，，其中，当时，，，所以在上递减.当时，，，所以在上递增.所以在区间，.同理可证得：在上递增，在上递减，.当时，，由上述分析可知，在上递增，在上递减.且.（3），由（2）的分析可画出的大致图象如下图所示，所以，当或或时，的零点个数是0；当或时，的零点个数是1；当或时，的零点个数是2．若选条件②，当时，，由得，（1）.（2）对于函数，根据上述分析可知：在上递减，在上递增，且在区间，.对于，任取，.其中.当时，，递增；当时，，递减.所以的增区间为，减区间为.且.（3），结合上述分析画出的大致图象如下图所示，所以当时，的零点个数是0；当时，的零点个数是2．【点睛】利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出的符号.求解函数零点问题，可利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.