2021届江苏省常州市高三下学期学业水平监测期初联考数学试题含解析

2021届江苏省常州市高三下学期学业水平监测期初联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求得集合，根据方程，求得或，

分，和三种情况，结合，列出不等式组，即可求解.

【详解】由不等式，解得或，即，

又由，解得或，

当时，可得集合，此时不满足；

当时，可得集合，

若，要使得，则满足，解得；

若，要使得，则满足，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故选：D.

2．i是虚数单位，在复平面内复数对应的点的坐标为（    ）

A．(，) B．(，) C．(，) D．(，)

【答案】A

【分析】把复数化为代数形式，可得对应点坐标．

【详解】，对应点坐标为．

故选：A．

3．已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac2≥bc2”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件求解.

【详解】因为a≥bac2≥bc2,

而ac2≥bc2 a≥b，例如，

所以“a≥b”是“ac2≥bc2”的充分不必要条件，

故选：B

4．设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，则函数的增区间为（    ）

A．(0，1) B．(0，) C．(，) D．(，1)

【答案】C

【分析】由的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，，得到求出a、b，直接利用导数求出增区间.

【详解】的定义域为，

∵函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，

∴解得：

∴

欲求的增区间

只需，解得：

即函数的增区间为(，)

故选：C

【点睛】函数的单调性与导数的关系：

已知函数在某个区间内可导，

（1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；

（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；

5．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出所有涂色方法数为，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可先从中间一个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形．

【详解】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为，

有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为，

所以所求概率为．

故选：A．

6．如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的线性回归方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题中数据，求得，再代入公式，可求得，即可求得方程.

【详解】根据四组数据，可得，

所以，，

所以，

所以，

所以回归直线方程为：.

故选：D

7．令() ，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】运用二项式性质，然后两边求导即可.

【详解】由题知，，，即 其中

所以

对上式左右两边求导得

再令得

故选：C

8．函数，A>0，>0，k，bR，则函数在区间(﹣，)上的零点最多有（    ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【答案】B

【分析】根据函数零点可转化为两个函数图象交点，画出函数大致图象即可求解.

【详解】由，可得，

 的周期，

故在区间(﹣，)上恰好2个周期，

作出与函数的大致图象如图，

由图象可知，最多有5个交点，故函数在区间(﹣，)上的零点最多有5个.

故选：B

【点睛】关键点点睛：函数的零点问题可转化为方程的根的问题，也可转化为两个函数图象交点的问题，本题转化为函数图象交点问题，作出大致图象可判断交点个数.

二、多选题

9．已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且(﹣)·(﹣)=0，则下列结论中正确的有（    ）

A． B．

C． D．，的夹角是钝角

【答案】BC

【分析】在平面上作出，，，，作，则可得出点在以为直径的圆上，这样可判断各选项，特别是CD． 由向量加法和减法法则判断AB．

【详解】如图，，，，，则，即，B正确；

，由(﹣)·(﹣)=0得，点在以直径的圆上（可以与重合）．中点是，

则，A错；

的最大值为，C正确；

与同向，由图，与的夹角不可能为钝角．D错误．

故选：BC．

【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出，，，确定点轨迹，然后由向量的概念判断．本题也可以放到平面直角坐标系中用坐标解决．

10．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则）（    ）

A．该校学生成绩的期望为 B．该校学生成绩的标准差为

C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过

【答案】ABD

【分析】根据正态分布的数字特征可判断ABC选项的正误，计算出，可判断D选项的正误.

【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布，则，方差为，标准差为，

，.

所以，该校学生成绩的期望为，该校学生成绩的标准差为，该校学生成绩及格率超过.

所以，ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD.

11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据斐波那契数列的递推关系进行判断．

【详解】由题意斐波那契数列前面8项依次为，，A正确，B错误；

，C正确；

，时，得，D正确．

故选：ACD．

【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是正确理解新数列，根据新定义，斐波那契数列满足递推关系，对于数列前面有限的项或前项的和可以直接求出项，计算，对于一般的结论只能利用这个递推关系判断．

12．设函数的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a]D，且对任意的[﹣a，a]，总存在[﹣a，a]，使得，称函数为P(a)函数，则下列结论中正确的有（    ）

A．函数是函数

B．函数是函数

C．若函数是函数，则t=4

D．若函数是P()函数，则b=

【答案】AD

【分析】根据题中所给定义，结合条件，逐一检验各个选项，分析整理，即可得答案.

【详解】对于A：，定义域为R，当时，有，

对任意，，

因为，存在，使，

所以函数是函数，故A正确；

对于B：，定义域为R，当时，有，

当时，，

所以不存在，使得，此时，故B错误；

对于C：当t=4时，，定义域为，，

因为，则，

所以，

又为增函数，

所以，

又因为，所以，

所以，

所以，即，故C错误；

对于D：当 时，，

所以，

因为函数是P()函数，

所以对任意，总存在使，

又，当时，，

当时，有，解得b=，故D正确.

故选：AD

【点睛】解题的关键是掌握P(a)函数的定义，并根据选项所给条件，结合各个函数的性质，进行分析和判断，综合性较强，属中档题.

三、填空题

13．圆柱上､下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为___________.

【答案】80π

【分析】作出圆柱的轴截面，求出圆柱的高，即可得表面积．

【详解】如图是圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，

由得，，又，∴，

∴圆柱表面积为．

故答案为：．

14．函数的最小正周期T=___________.

【答案】

【分析】由题可得，可判断是以为周期的函数，再讨论在和的单调性可得出结论.

【详解】

，

是以为周期的函数，

当时，，函数单调递减，

当，，函数单调递增，

在内不存在小于的周期，是的最小正周期.

故答案为：.

【点睛】本题考查三角函数周期的求解，解题的关键是先判断出是函数的周期，再根据其性质探讨其为最小正周期.

15．已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是___________.

【答案】

【分析】利用的图象关于直线对称，且在时为减函数，可解不等式．

【详解】， ，，所以的图象关于直线对称，

时，

设，则，，

，，

所以，即

即是减函数，所以时函数为增函数，

因此由得，解得且．．

故答案为：

【点睛】思路点睛：本题考查函数的对称性与单调性，利用对称性、单调性不等式，求解方法类似于二次函数：对开口向上的抛物线，离对称轴越近，函数值越小，开口向下的抛物线，离对称轴越近，函数值越大．

四、双空题

16．已知椭圆C1：的右焦点F也是抛物线C2：y2=nx的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为，则实数n=___________，椭圆C1的离心率e=___________.

【答案】4       

【分析】依题意可得椭圆与抛物线的焦点为，根据抛物线的定义即可求出，再设椭圆与抛物线在第一象限的交点为，由抛物线的定义求出的坐标，最后代入椭圆方程，求出参数，即可求出椭圆离心率；

【详解】解：椭圆C1：，所以右焦点，又也为的焦点，所以，所以，即抛物线，则抛物线的准线为，设椭圆与抛物线在第一象限的交点为，则，所以，又点在上，所以，解得，所以，所以，解得或（舍去）

所以椭圆方程为，所以，，，所以离心率

故答案为：；

五、解答题

17．设等比数列的公比为q(q≠1)，前n项和为.

（1）若，，求的值；

（2）若q>1，，且，m，求m的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由已知根据等比数列的求和公式得，可求得公比，由此可求得的值；.

（2）由已知和等比数列的通项公式得可求得公比代入可求得的值.

【详解】解：（1），

解得，所以.

（2）得因为，所以

由又所以，

即因为则所以，解得.

【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，关键在于准确地运用相应的公式，建立方程或方程组，求解得答案.

18．已知中，它的内角的对边分别为，且.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题设条件，利用余弦定理，求得，进而求得的值；

（2）由，得到，进而求得的值.

【详解】（1）在中，因为，即

由余弦定理可得，

因为，所以.

（2）在中，可得，可得，

由，

可得，

又由，则，则，所以.

19．已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.

（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；

（2）求该射手的总得分X的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.

【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件，得到，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；

（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.

【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件，

则，，

，其中互斥，相互独立，

从而，

则，

所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为.

（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，

则，

，

，

,

,

该射手的总得分的分布列为

随机变量的数学期望

【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：

1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；

2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；

3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；

4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.

20．如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，，平面 平面，二面角的大小为.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出平面，可得出，推导出为等腰直角三角形，可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面；

（2）在底面内，过点作，垂足为，连接，设，推导出为直线与平面所成角，计算出、，进而可计算得出.

【详解】（1）四棱锥中，四边形是矩形，所以，

又因为平面平面，平面平面，平面

所以平面，

又因为、、平面，所以，，，

从而是二面角的平面角，

因为二面角的大小为，所以，

在中，，所以，所以，

即，

又因为，，所以平面；

（2）在底面内，过点作，垂足为，连接，

由（1）知平面，又平面，所以，

又因为，，所以平面，

从而为直线与平面所成角，

设，则，，

所以，，，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：

（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；

②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；

③求，利用解三角形的知识求角；

（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.

21．已知函数，a，bR.

（1）若a>0，b>0，且1是函数的极值点，求的最小值；

（2）若b=a+1，且存在[，1]，使成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）最小值；（2）.

【分析】（1）由1是函数的极值点得，对用基本不等式中“1的代换”求最值；

（2）把“存在[，1]，使成立”转化为函数在上的最小值小于0，利用导数讨论单调性，找到最小值，解出a的范围即可.

【详解】解：（1）因为是函数的极值点，所以

即此时

当当所以函数在处取极小值.

所以因为，

所以(当且仅当时等号成立)

此时有最小值.

（2）当时，，

存在使成立，即函数在上的最小值小于

①当即时，在上单调递减，

所以在上的最小值为，

所以，不符，舍去；

②当即时，在上单调递增，

所以在上的最小值为

所以，又所以；

（3）当时，即时，

在上单调递增，在上单调递减，

所以在上的最小值为

因为所以所以

所以，

所以不符，舍去，

综上可得，的取值范围是.

【点睛】（1）导数为零，并且两侧导数一正一负的点为极值点；导数为零，但是两侧导数符号相同的点不是极值点.

（2）研究含参数的函数的单调性要注意：①讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；②利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；③在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；④在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨

22．已知等轴双曲线C：(a>0，b>0)经过点(，).

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点B(0，1).

①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；

②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值.

【答案】（1）；（2）①；②或者.

【分析】（1）由题意，代入已知点建立方程，解之可得双曲线的标准方程.

（2）①由对称性可设，且，运用向量数量积的坐标运算表示，又由可得，由此可得最小时，的值.

②设过点的动直线为：设与双曲线的方程联立得，根据根的判别式和根与系数的关系可求得且，由直线的斜率公式得，再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数的值.

【详解】解：（1）由题意，且解得，

所以双曲线的标准方程为

（2）①由对称性可设，且，则，

因为点在双曲线上，所以，所以，所以，

当时，为直角，

当吋，为钝角.

因此，最小时，.

②设过点的动直线为：

设联立得，

所以，由且，解得且，

，即即，

化简得，

所以，

化简得，

由于上式对无穷多个不同的实数都成立，

所以

如果那么此时不在双曲线上，舍去.

因此从而代入解得.

此时在双曲线上.

综上，或者.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去.