北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数课前预习ppt课件

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1.理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.
2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质.
古希腊数学家梅内克缪斯偶然发现，把圆锥按不同角度切开，会出现不同的形状.当与圆锥侧线平行切开时，出现了一种从未见过的优美曲线.直到中世纪，大物理学家伽利略才发现了它在实际生活中的重大意义.伽利略注意到，把物体斜着抛出去之后，其运动的轨迹正是当初梅内克缪斯切圆锥得到的那条曲线，而且还是自然界中普遍的物体运动轨迹.这时，笛卡尔把数和形结合了起来，开创了解析几何，这样各种各样的几何图形都可以用方程来表示.后来，随着函数概念的不断发展，人们又发现，二次函数的图象正是那条让数学家们魂牵梦萦了一千多年的曲线——抛物线.
问题1　一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ有什么关系？
提示　①当Δ>0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，此时，二次函数与x轴有两个不同的交点，x1，x2即为两交点的横坐标.②当Δ＝0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根x1＝x2，此时，二次函数与x轴有1个交点，x1(x2)即为交点的横坐标.③当Δ<0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，此时，二次函数与x轴没有交点.
1.一元二次函数的定义一般地，把形如___________________(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为___________、一次项系数和_______.通常把一元二次函数的图象叫作________.
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
2.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
(1)在利用一元二次函数图象解决问题时，应注意以下几点：①a决定函数图象的开口方向；②判别式Δ决定与x轴是否有交点；③过定点(0，c)；④对称轴的位置.(2)一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
　　(1)设abc>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是
(2)由函数y＝x2的图象如何得到y＝－x2＋2x＋3的图象？
y＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3＝－(x2－2x＋1－1)＋3＝－(x－1)2＋4，∴由y＝－x2的图象与y＝x2的图象关于x轴对称，可得y＝－x2的图象.由y＝－x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3的图象.
处理一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象问题，主要是考虑其图象特征，如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系.在图象变换中，记住“h正右移，h负左移，k正上移，k负下移”.
　　　将二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1的图象，则b＝___，c＝___.
y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其图象顶点为(1,0).将二次函数y＝x2－2x＋1的图象向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象的顶点为(3，－3)，得到的抛物线方程为y＝(x－3)2－3，即y＝x2＋bx＋c，∴(x－3)2－3＝x2＋bx＋c，即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c，∴b＝－6，c＝6.
求一元二次函数的解析式
问题2　一元二次函数的解析式的形式有几种？
提示　三种不同形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0).(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
一元二次函数的解析式的三种不同形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0).(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
在不同情况下，不同形式的解析式的应用.
　　已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且最大值为8，求一元二次函数的解析式.
故所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.方法二　∵一元二次函数图象过点(2，－1)，(－1，－1)，
将(2，－1)代入得，
故所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
求一元二次函数解析式的步骤
　　　已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(－3,0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式.
方法一　因为一元二次函数图象的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1,2)或(－1，－2)，故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.
方法二　因为二次函数图象的对称轴为x＝－1，又图象过点A(－3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图象上，所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1).由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)，
问题3　你能找出一元二次函数y＝2(x－1)2＋5的对称轴和顶点坐标吗？你能找出函数值y随x的增大而减小，函数值y随x的增大而增大所对应的区间吗？你能求出函数的最值吗？
提示　对称轴是x＝1，顶点坐标是(1,5).函数值y随x的增大而减小的区间是(－∞，1]，函数值y随x的增大而增大的区间是[1，＋∞).当x＝1时，ymin＝5，无最大值.
解决二次函数的单调性与最值问题要注意数形结合法的应用.
①求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值；
由于3∈[1,4]，所以函数值在区间[1,3]上随x的增大而减小，在区间[3,4]上随x的增大而增大，
②若x∈[1,4]，求函数值的取值范围.
函数y＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴为x＝a.当a＜0，x＝0时，ymax＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1.当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，
(2)已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值.
当a＞1，x＝1时，ymax＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.
二次函数最值问题的解法抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合对称轴的位置，根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成.
　　　已知函数y＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值.
y＝a(x＋1)2＋1－a.当a＝0时，函数在区间[－1,2]上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去；
当a<0时，函数值在区间[－1,2]上随x的增大而减小，最大值为1－a＝4，解得a＝－3.
1.知识清单： (1)一元二次函数解析式的三种形式. (2)一元二次函数的图象及变换. (3)一元二次函数的性质.2.方法归纳：配方法、数形结合、图象变换.3.常见误区： (1)易忽视二次函数的开口方向. (2)二次项含参时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论.
1.在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是
当m>0时，函数y＝mx＋m函数值随x的增大而增大，且图象交y轴于正半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧.当m<0时，函数y＝mx＋m函数值随x的增大而减小，且图象交y轴于负半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧.满足上述条件的只有D选项.
2.关于二次函数y＝－2x2＋1，下列说法中正确的是A.它的图象开口方向是向上B.当x<－1时，y随x的增大而增大C.它的顶点坐标是(－2,1)D.当x＝0时，y有最大值是2
∵二次函数y＝－2x2＋1，a＝－2，∴该函数图象开口向下，故选项A错误；当x<0时，y随x的增大而增大，故选项B正确；它的顶点坐标为(0,1)，故选项C错误；当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误.
3.将y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为A.y＝(x＋2)2＋1 B.y＝(x－2)2＋1C.y＝(x－2)2－1 D.y＝(x＋2)2－1
4.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(2,1)，并且图象过点(0,0)，则a等于
因为函数y＝x2－4x＋3，x∈[1,4]在[1,2]上函数值随x的增大而减小，在[2,4]上函数值随x的增大而增大，所以在x＝2时函数y＝x2－4x＋3，x∈[1,4]取得最小值为－1.
5.函数y＝x2－4x＋3，x∈[1,4]的最小值为_____.
1.函数y＝x2＋mx的图象关于直线x＝2对称，则A.m＝－4 B.m＝4 C.m＝－2 D.m＝2
2.已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为A.y＝－x2＋1 B.y＝x2＋1C.y＝－x2－1 D.y＝x2－1
设y＝a(x－1)(x＋1)，代入(0,1)，得a(0－1)(0＋1)＝－a＝1，∴a＝－1，∴y＝－x2＋1.
3.一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是
选项A，y＝ax＋b中，a>0，而y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，矛盾；
选项D，y＝ax＋b中，a<0，但y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，矛盾.
4.函数y＝－x2＋2x－3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为A.0，－2 B.－2，－6C.－2，－3 D.－3，－6
∵y＝－(x－1)2－2，∴当x＝1时有最大值－2，当x＝3时有最小值－6.
5.若y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，则该函数的函数值在区间(－3,1)上A.随x的增大而增大B.随x的增大而减小C.随x的增大先增大后减小D.随x的增大先减小后增大
y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，所以m＝0，此时y＝－x2＋3，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，函数值在区间(－3,1)上先增大后减小.
6.已知函数y＝(m2－3m) 是二次函数，则m＝____，此时函数的最大值为_____.
∴m＝2，此时y＝－2x2，函数的最大值为0.
7.函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位长度，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝_____.
y＝x2－1的图象向上平移2个单位长度，得到函数y＝x2＋1的图象，则m＝1.
8.一元二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________________.
依题意可设y＝a(x－2)2－1(a>0)，又其图象过点(0,1)，
9.已知抛物线y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m).(1)求抛物线的解析式；
由题意得，点A(1，m)在直线y＝－3x上，∴m＝－3×1＝－3.把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8，得a＋6－8＝－3，求得a＝－1.∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8.
(2)(1)中的抛物线经过怎样的平移可以得到y＝ax2的图象.
∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，∴顶点坐标为(3,1).∴把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位长度后得到y＝－x2＋1的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位长度得到y＝－x2的图象.
10.已知函数y＝－x2＋4x－2.(1)试述函数y的变化趋势及最大值或最小值；
y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2.该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，在区间(－∞，2]上函数值y随自变量x的增大而增大，在区间[2，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数值y在x＝2处取得最大值，即ymax＝2.
(2)若x∈[0,3]，求y的最大值和最小值.
若x∈[0,3]，画出函数图象，如图所示.由图可知，当x＝2时，ymax＝2；当x＝0时，ymin＝－2.
11.已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是
∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.
12.函数y＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上函数值y随着自变量x的增大而减小，则a的取值范围是A.[－3，＋∞) B.(－∞，－3]C.(－∞，5) D.[3，＋∞)
函数的对称轴是x＝1－a，开口向上，则1－a≥4，解得a≤－3.
13.已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是A.当a＝1时，函数图象经过点(1,1)B.当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C.若a<0，则函数图象的顶点始终在x轴的下方D.若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
A中，当a＝1时，函数解析式为y＝x2－2x－1，过点(1，－2)，所以A不正确；B中，当a＝－2时，函数解析式为y＝－2x2＋4x－1，令y＝－2x2＋4x－1＝0，则Δ＝42－4×(－2)×(－1)＝8>0，所以当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，所以B不正确；C中，y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2－1－a，所以二次函数图象的顶点坐标为(1，－1－a)，所以C不正确；D中，因为y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2－1－a，所以二次函数图象的对称轴为直线x＝1，若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大.
14.函数y＝x2－2x，当－1≤x≤t时，该函数的最大值为3，则t的最大值为_____.
令y＝3，则x2－2x＝3，解得x＝－1或3.由图可知，t的最大值为3.
15.(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个选项，正确的是A.b2>4ac　　 　　B.2a－b＝1C.a－b＋c＝0 D.5a因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a16.求函数y＝－x(x－a)在[－1,1]上的最大值.
即a<－2，－2≤a≤2和a>2这三种情形讨论.①当a<－2时，函数大致图象如图1所示，由图可知ymax＝－a－1；