北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数1 指数幂的拓展课前预习ppt课件

学习目标　1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂和实数指数幂的含义．

导语

伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了．可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少？是整数呢，还是分数？毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个m究竟是什么数．世界上除了整数和分数以外还有没有别的数？这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言：m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．从希伯斯的发现中，人们知道了除了整数和分数以外，还存在着一种新数．给新发现的数起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称为“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”．

一、根式与分数指数幂的互化

问题1　被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？

提示　＝，＝＝，＝，＝＝.

知识梳理

1．正分数指数幂

给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝.这就是正分数指数幂．

2．负分数指数幂

给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义＝＝，这就是负分数指数幂．

注意点：

在指数幂的概念中，总有a>0.

例1　(1)用分数指数幂表示下列各式(a>0)：

①；②；③.

解　①原式＝.

②原式＝＝b2.

③令b＝＝，

∴b2＝a，∴＝＝，

∴2＝a，即＝a，

∴b4＝a3，∴b＝，即原式＝.

(2)将下列分数指数幂化为根式：

①(a>0)；②(m，n∈N＋)；③(x>0，y>0)．

解　①＝.

②＝＝.

③＝＝.

反思感悟　(1)根式与分数指数幂互化的规律

①根指数分数指数幂的分母．

②被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．

(2)分数指数幂与根式是同一个数的两种不同书写形式．

(3)掌握两个公式：①()n＝a(n∈N＋，且n>1)；②n为奇数，＝a；n为偶数，＝|a|＝

跟踪训练1　(1)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：

①；②a3·.

解　①原式＝.

②令b＝a3，∴＝＝，

∴2＝a，即＝a，∴b2＝a7.

∴b＝，即a3·＝.

(2)已知a＝，b＝，c＝，试比较a，b，c的大小．

解　∵a＝＝＝＝，

b＝＝＝＝，c＝＝，

而121<123<125，

∴>>，

∴a>c>b.

二、分数指数幂的计算

例2　计算：

(1)；(2)；(3)；(4).

解　(1)令b＝，∴b2＝64，∴b＝8(b>0)，∴＝8.

(2)＝，令b＝，

∴b3＝2＝2＝3，

∴b＝2＝，∴＝＝9.

(3)＝，令b＝，∴b2＝163＝(42)3＝(43)2，

∴b＝43＝64(b>0)，∴＝.

(4)令b＝，∴b3＝＝3，∴b＝，

∴＝.

反思感悟　指数幂的运算，一般用待定系数法，把分数指数幂转化为整数指数幂，利用整数指数幂的运算性质求解指数幂．

跟踪训练2　把下列各式中的正数b写成分数指数幂的形式．

(1)b3＝32；(2)b2＝；(3)b－3＝34；(4)b－3m＝24n(m，n∈N＋)．

解　(1)b3＝32＝25，∴b＝.

(2)b2＝，∴b＝.

(3)b－3＝34，∴b＝.

(4)b－3m＝24n，∴b＝.

三、无理数指数幂

问题2　阅读课本75页的分析理解，你发现了什么？

提示　可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应．

知识梳理

无理数指数幂的定义：一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数aα，自然地，规定a－α＝.

例3　(1)(多选)下列各式是无理数指数幂的是(　　)

A.  B．  C．2π  D．

答案　BCD

(2)＝________.

答案　

反思感悟　无理数指数幂的形式aα(a>0，α是正无理数，并且a－α＝)．

跟踪训练3　(多选)下列各式正确的是(　　)

A．＝2   B．1－π＝1

C．＝27   D．＝

答案　BC

1．知识清单：

(1)正分数指数幂和负分数指数幂．

(2)根式与分数指数幂的互化．

(3)无理数指数幂和实数指数幂．

2．方法归纳：转化法．

3．常见误区：0的零指数幂和任意负实数指数幂没有意义．

1．可化为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　＝＝.

2.(a>0)可化为(　　)

A．   B．

C． D．

答案　A

3．方程＝的解是(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　∵＝，∴＝3－2，

∴x－1＝－2，

∴x＝－.∴方程＝的解是x＝－.

4．下列各式正确的是(　　)

A.＝(m>n)

B.＝

C.＝(x>0，y>0)

D.＝

答案　A

解析　A正确；∵＝＝，∴B错误；

∵＝，∴C错误；

∵≠3.∴D错误．

5．若b－5＝32－3(b>0)，则b＝________.

答案　8

解析　b－5＝32－3＝(25)－3＝2－15，

∴b＝＝23＝8.

1.(m>0)化为分数指数幂为(　　)

A． B． C． D．

答案　A

解析　＝＝.

2．中x的取值范围是(　　)

A．(－∞，＋∞)   B.∪

C.   D.

答案　C

解析　要使该式有意义，需3－2x>0，即x<.

3．计算的结果是(　　)

A．π   B.

C．－π   D.

答案　D

4．由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为(　　)

(1)21.7,21.73,21.732,21.732 0,21.732 05，…

(2)21.8,21.74,21.733,21.732 1,21.732 06，…

A．21.7  B．21.8  C．  D．4

答案　C

解析　的不足近似值为1.7,1.73,1.732,1.732 0，1.732 05，…；的过剩近似值为1.8,1.74,1.733,1.732 1,1.732 06，….故由(1)(2)两串有理数指数幂逼近得到的数为.

5．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)

A．－＝   B.＝(y>0)

C．＝(x>0)   D.＝

答案　BCD

解析　A项错误，－＝(x≥0)，而＝(x≤0)；

B项正确，＝(y>0)；

C项正确，＝＝(x>0)；

D项正确，＝(x>0)．

6．若2<a<3，化简＋的结果是________．

答案　1

解析　∵2<a<3，∴a－2>0，a－3<0，

∴＋＝|2－a|＋|3－a|

＝a－2＋3－a＝1.

7．计算：＋0＋3－2＝________.

答案　

解析　令b＝，

∴b3＝2＝2＝3，

∴b＝2，∴原式＝2＋1＋＝.

8．若＋＝0，则(x2 021)y＝________.

答案　1

解析　因为＋＝0，

所以＋＝|x－1|＋|y＋3|＝0，

所以x＝1，y＝－3.

所以(x2 021)y＝(12 021)－3＝1－3＝1.

9．计算下列各式的值：

(1)；(2)；

(3)；(4).

解　(1)令b＝，∴b2＝121，∴b＝11(b>0)，

∴＝11.

(2)＝，令b＝，

∴b2＝，∴b＝(b>0)，∴＝.

(3)＝，

令b＝，

∴b4＝10 0003＝(104)3＝(103)4，

∴b＝103(b>0)，∴＝＝.

(4)＝，令b＝，

∴b3＝2＝2＝3，

∴b＝2(b>0)，

∴＝＝.

10．已知＋＝－a－b，求＋的值．

解　因为＋＝－a－b，

所以＝－a，＝－b，

所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，

所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.

11．(多选)下列互化不正确的是(　　)

A.＝(x<0)

B.＝(y<0)

C．＝(x>0，y>0)

D．＝－(x≠0)

答案　BD

解析　对于B，等号右边不符合分数指数幂的定义．D中，当x<0时，不符合分数指数幂的定义；当x>0时，＝ .AC正确．

12．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　)

A．和   B．0－2和

C．和   D．和－3

答案　C

解析　选项A中，和均不符合分数指数幂的定义，故A不满足题意；

选项B中，0的负实数指数幂没有意义，故B不满足题意；

选项D中，和－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；

选项C中，＝，＝＝＝，满足题意．

13．化简：(a－1)正确的是(　　)

A．   B．

C．   D．

答案　C

解析　由>0，得a<1，

则a－1<0，

所以(a－1)＝－＝－＝.

14．当a>0时，等于(　　)

A．x   B．x

C．－x   D．－x

答案　C

解析　由成立可知－ax3≥0，结合a>0得x3≤0，即x≤0，因此＝＝·＝·|x|＝－x.

15．已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　)

A．2   B．0 

C．－2   D．±2

答案　B

解析　由题意知ab<0，a＋b＝a·＋b＝a＋b＝a＋b·＝0.

16．化简下列各式：

(1)＋；

(2)＋(a≥1)．

解　(1)原式＝＋

＝＋

＝(－)＋(2－)

＝2－.

(2)原式＝

＋

＝＋

＝(＋1)＋|－1|

＝