北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性图片ppt课件

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1.了解函数的零点、方程的解与图象与x轴交点的横坐标三者之间的联系.
2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50～100年间编成的《九章算术》，就给出了一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法.11世纪的时候，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法.今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧.
问题1　观察下列三组方程与函数：
利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系.
提示　方程x2－2x－3＝0的根为－1,3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1,0)，(3,0)；x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1,0)；x2－2x＋3＝0没有实根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点.
问题2　问题1中的方程的根是函数图象与x轴的交点坐标吗？
提示　不是，根不是点，根是函数图象与x轴的交点的横坐标.
问题3　探究函数y＝x2＋4x－5的图象与x轴交点附近函数值的变化规律？
提示　x2＋4x－5＝0的两根为x1＝－5，x2＝1，因为－5∈(－6，－4)，1∈(0,2)，f(－6)f(－4)<0，f(0)f(2)<0.
1.函数的零点(1)定义：使得f(x0)＝0的 称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的______.(2)函数的零点、函数的图象、方程的解的关系
f(a)·f(b)<0
(1)理解函数零点应注意以下几点：①零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的解；②求零点可转化为求对应方程的解；③不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解.
(2)理解零点存在定理应注意以下几点：①定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；②闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件；③该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点.
　　(1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.①f(x)＝x4－x2；
令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
②f(x)＝4x＋5；
令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，方程4x＋5＝0无实数解.所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点.
③f(x)＝lg3(x＋1).
令lg3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)＝lg3(x＋1)的零点为0.
(2)(多选)已知函数f(x)的图象是一条连续的曲线，则下列说法正确的有A.若f(0)·f(1)>0，则f(x)在(0,1)内没有零点B.若f(0)·f(1)>0，则无法确定f(x)在(0,1)内有无零点C.若f(0)·f(1)<0，则f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点D.若f(0)·f(1)≤0，则f(x)在[0,1]内有零点
∵f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)>0，∴不能确定f(x)在(0,1)内零点的情况，A错误，B正确；若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)<0，由零点存在定理知，f(x)在(0,1)内至少有一个零点，C错误；若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)≤0，由零点存在定理知，f(x)在[0,1]内有零点，D正确.
(3)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)
方法一　∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0,1)内有零点.方法二　ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间.如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间为(0,1).
(1)函数零点的求法①代数法：求方程f(x)＝0的解.②几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.(2)确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法①解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
②利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.③数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
　　　(1)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间[0,16]，[0,8]，[0,4]，[0,2]内，那么下列说法中正确的是A.函数f(x)在区间[0,1]内有零点B.函数f(x)在区间[0,1]或[1,2]内有零点C.函数f(x)在区间[2,16]内无零点D.函数f(x)在区间[1,16]内无零点
由题意得，函数零点在[0,2]内，即函数f(x)在区间[0,1]或[1,2]内有零点，故A错误，B正确，D选项无法判断，可能有零点，也可能无零点，故D错误.当函数的零点为2时，C选项错误.
(2)(多选)函数f(x)＝ln x＋3x－4的一个零点所在的区间不可能是A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(e，e2)
方法一　由题设，函数f(x)单调递增，f(0)→－∞，f(1)＝ln 1＋3－4＝－1<0，f(2)＝ln 2＋6－4＝ln 2＋2>0，f(3)＝ln 3＋9－4＝ln 3＋5>0，f(e)＝ln e＋3e－4＝3(e－1)>0，f(e2)＝2＋3e2－4＝3e2－2>0，综上，零点所在的区间不可能是(0,1)，(2,3)，(e，e2).方法二　令f(x)＝ln x＋3x－4＝0⇒ln x＝－3x＋4，画出函数y＝ln x与y＝－3x＋4的大致图象如图所示，显然零点所在区间不可能是ACD.
当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2.∴函数的零点个数为2.
(2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数.
方法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，∴原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象在x∈(0，＋∞)上只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个解，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点.方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，∴f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，∴f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，∴零点只有一个.
判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判断函数零点的个数.
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点.
　　　(1)对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则A.方程f(x)＝0一定有实数解B.方程f(x)＝0一定无实数解C.方程f(x)＝0一定有两实数解D.方程f(x)＝0可能无实数解
∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解.
(2)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是A.0 　　　B.1 　　　C.2 　　　 D.3
∵f(0)·f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
　　(1)已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝ 　　　　　　设函数f(x)＝2x＋1⊗(2－4x)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是______.
由2x＋1－(2－4x)＝(2x)2＋2·2x－2≤1，得(2x)2＋2·2x－3≤0，即(2x－1)(2x＋3)≤0，得2x－1≤0，即x≤0，
作出函数图象如图所示，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y＝f(x)与y＝c的图象有两个交点，则0(2)已知函数f(x)＝x2－x＋ －2(x＞0).①用定义证明f(x)在(0,1)内单调递减；
设0即f(x)在(0,1)内单调递减.
②证明f(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1＋x2＞2.
同理可知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，f(1)＝1－1＋1－2＝－1<0，
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解.
　　　已知函数f(x)＝3ax2－2x＋a－1，方程f(x)＝0有两个不同的实数根x1，x2.(1)求实数a的取值范围；
函数f(x)＝3ax2－2x＋a－1，方程f(x)＝0有两个不同的实数根，
(2)小明同学在探究“若x1，x2仅有一个在区间(0,1)内，求实数a的取值范围”这一问题时，经过分类讨论后认为实数a只需要满足f(0)·f(1)<0，他得出的答案为 遗漏的情况为f(0)＝0或f(1)＝0的情况，
1.知识清单： (1)函数的零点的定义. (2)零点存在定理. (3)判断零点个数及所在区间. (4)函数零点的综合应用.2.方法归纳：转化法、数形结合法.3.常见误区：零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标.
1.已知函数f(x)的图象是连续的，有如下的x，f(x)对应值表：
由数表可知，函数分别在(2,3)，(3,4)，(4,5)上各至少一个零点，因此在区间[1,6]上的零点至少有3个.
那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是
4.函数f(x)＝x3－　 　的零点有____个.
如图，可知两个函数图象有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点.
5.若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a的值为__________.
当a＝0时，函数y＝－x－1，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点.当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数.因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点，所以方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根.所以Δ＝1＋4a＝0，
1.下列图象表示的函数中没有零点的是
A中函数图象与x轴没有交点，故函数没有零点.
3.函数f(x)＝3x－4的零点所在的区间为A.(0,1) 　　 B.(－1,0) 　　C.(2,3) 　　D.(1,2)
4.已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，a因为α，β是函数f(x)的两个零点，所以f(α)＝f(β)＝0.又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知α5.若函数f(x)＝x＋ (a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是A.－2 　　　 B.0 　　　C.1 　　　D.3
当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有___个零点.
由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点.
7.函数f(x)＝ln x＋3x－2的零点个数是_____.
由f(x)＝ln x＋3x－2＝0，得ln x＝2－3x，设g(x)＝ln x，h(x)＝2－3x，图象如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)＝ln x＋3x－2有一个零点.
9.求下列函数的零点：
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点.
(3)f(x)＝2x－3；
令2x－3＝0，解得x＝lg23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是lg23.
(4)f(x)＝1－lg3x.
令1－lg3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－lg3x的零点是3.
10.已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1.所以f(x)的零点是1和3.
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围.
因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图.需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞).
11.(多选)若函数y＝x2－4|x|＋5－m有四个不同的零点，则实数m可取的值有A.1 　　　B.2　　　 C.4 　　　 D.6
因为函数y＝x2－4|x|＋5－m有四个不同的零点，所以关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不同的实数解，所以令f(x)＝|x|2－4|x|＋5＝(|x|－2)2＋1，h(x)＝m，画出函数f(x)的图象，如图所示，若要使f(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，则直线h(x)＝m应该在直线l和直线n之间，所以112.(多选)已知函数f(x)＝　　　　　　　　若x1由图可知，x1＋x2＝－2，－2由f(x3)＝f(x4)，得|lg2x3|＝|lg2x4|，即lg2x3＋lg2x4＝0，所以x3x4＝1，由图可知013.设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝____.
令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，∴f(x)仅在(2,3)内有零点，∴k＝2.
14.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上单调递增，则该函数有___个零点，这几个零点的和等于____.
因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点的和等于0.
15.已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是_________.
画出函数y＝3x，y＝lg3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论a＝0和a≠0两种情况；而a≠0时，在区间(－1,1)内的零点可能不是“变号零点”.正确解答如下：(1)当a＝0时，f(x)＝4x－1，
∴当a＝0时，f(x)在(－1,1)内恰有一个零点.
(2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a.