数学必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解图片课件ppt

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1.了解二分法的原理及其适用条件.
2.掌握二分法的实施步骤.
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
一工人要维修一条10 km长的电话线，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子.因此他想了个方法：设电线两端分别为A，B，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC的中点D，发现BD正常，可见故障在CD段，再到CD的中点E来看……这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小到50－100 m左右，即在一两根电线杆附近.这样就省了很多精力了.这个方法就是我们今天要学习的二分法.
问题1　有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的.用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
提示　4次.第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币.
二分法对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条______的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的 ，将区间 ，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.(2)并非所有的函数的零点都可以用二分法求解.只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点.
　　(1)下列每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是
使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间.
(2)(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是
∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]，
运用二分法求函数的零点应具备的两个条件(1)连续性：函数图象在零点附近连续.(2)变号性：在该零点左右函数值异号.
　　　(1)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点时，可以作为初始区间的是A.[－2,1] B.[－1,0]C.[0,1] D.[1,2]
由于f(－2)＝(－2)3＋5＝－3<0，f(1)＝13＋5＝6>0，f(－2)·f(1)<0，因此可以将[－2,1]作为初始区间，故选A.
(2)已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为A.4,4 B.3,4C.5,4 D.4,3
图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
问题2　依据二分法的思想，你能想办法求函数f(x)＝x3－3的零点吗？并思考一下最终的结果如何确定？
提示　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
给定精确度，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤
(1)初始区间的确定要包含函数的变号零点.(2)用二分法求函数零点的近似值，定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量.(3)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分.(4)上述步骤可简记为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间，周而复始怎么办？精确度上来判断.
　　(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下表：
根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为
已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75,0.125)，所以零点在区间(0.093 75,0.125)上，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以区间[0.093 75,0.125]内的值都符合题意.
二分法求函数零点的关注点(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解.
　　　用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间(1,3)内的零点近似解，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有零点的区间是______.
f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，∵f(1)·f(2)<0，∴f(x)零点所在的区间为(1,2)，∴函数f(x)＝2x＋3x－7下一个有零点的区间是(1,2).
用二分法求方程的近似解
方程的解和函数的零点可以互相转化，如果方程的解在满足精确度的区间内，那么此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解.
　　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，该零点唯一，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5(答案不唯一).
应用二分法需注意的问题(1)精确度：要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.(2)初始区间：初始区间的选定一般在两个整数间，在精确度给定的情况下，不同的初始区间结果是相同的.(3)方程根的选取：当区间长度符合“精确度ε”的要求后正确选取方程的根.当区间[an，bn]的长度|an－bn|<ε时，这个近似值可以是区间[an，bn]内任意一个数.
　　　用二分法求方程2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据如下表：
令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0. 因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下：
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，∴区间[1.375,1.5]内的任意一个数都是满足精确度的近似解，如可取1.4(答案不唯一).
1.知识清单： (1)二分法的定义. (2)利用二分法求函数零点、方程近似解的步骤.2.方法归纳：转化与化归、二分法.3.常见误区：二分法并不适用于求所有零点，只能用于求函数的变号零点.
1.下列函数中，必须用二分法求其零点的是A.y＝x＋7 B.y＝5x－1C.y＝lg3x D.y＝　　－x
A，B，C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点.
2.下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求零点的是
C中函数图象在零点附近连续，且在零点左右函数值异号，故选C.
5.某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D至少等分____次后，所得近似值的精确度为0.1.
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是A.x1　　　　B.x2 　　　C.x3 　　　 D.x4
能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0.而x3左右两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
2.设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间A.(2,2.25) B.(2.25,2.5)C.(2.5,2.75) D.(2.75,3)
因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在定理知，方程的根落在区间(2.5,2.75)，故选C.
3.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是A.|a－b|<0.1 B.|a－b|<0.001C.|a－b|>0.001 D.|a－b|＝0.001
根据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算.
4.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正实数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.05)为A.1.5 　　 　　 　　
∵f(1.406 25)<0，f(1.437 5)>0，∴f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，∴该方程的根在区间[1.406 25,1.437 5]内，又∵|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.05，∴方程的近似解可以是1.437.
6.用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________.
7.用二分法求方程f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝________.
根据题意，方程f(x)＝0的根应该在区间(1.375,1.5)上，
8.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________，函数的零点是______.(用a表示)
因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b；
9.以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整.解　设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续的，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递________(增或减).先求f(0)＝__________，f(1)＝________，f(2)＝________.所以f(x)在区间________内存在零点x0，再填下表：
下结论：____________________________________________________________________________.
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续的，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，先求f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9.所以f(x)在区间(1,2)内存在零点x0，再填下表：
下结论：由表得区间[1.125,1.187 5]内的任意实数都是方程x3＋3x－5＝0的一个近似解，不妨取1.18.
10.某电视台有一档娱乐节目，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了.选手紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就先取区间[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格.
11.已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间(a，b)等分的次数至少为A.1 B.2C.3 D.4
12.若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是A.f(x)＝4x－1 B.f(x)＝(x－1)2C.f(x)＝ex－1 D.f(x)＝
g(x)＝4x＋2x－2为增函数，
真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，
14.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算其函数值，并得出判断：方程的近似解是1.8.那么他再取的x的4个值依次是____________________.
第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5).
1.5,1.75,1.875,1.812 5
15.已知函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，现考虑方程x(x－1)(x＋1)＋0.01＝0根的情况，以下说法正确的是________.(填序号)①有三个实数根；②在(－∞，－1)内，恰有一个实数根；③在(－1,0)内，恰有一个实数根；④在(0,1)内，恰有一个实数根；⑤在(1，＋∞)内，恰有一个实数根.
函数f(x)＝x(x－1)·(x＋1)＋0.01的图象可由y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位长度得到，如图所示.
由图象易知方程f(x)＝0有三个实数根，在(－∞，－1)内，恰好有一个实数根；在(－1,0)内，没有实数根；在(0,1)内，恰好有两个实数根；在(1，＋∞)内，没有实数根，所以只有①②正确.
16.已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实数根.
∵f(1)>0，∴f(1)＝3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c>0，∴－b－c>c，即a>c.∵f(0)>0，∴f(0)＝c>0，∴a>0.