新教材北师大版步步高学习笔记必修一第四章 章末检测试卷(四)【学案+同步课件】

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章末检测试卷(四)(时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．下列函数中，随着x的增大而增加速度最快的是(　　)A．y＝ex   B．y＝100xC．y＝x100   D．y＝100×2x答案　A解析　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快．2．计算：log225·log52等于(　　)A．3  B．4  C．5  D．6答案　A解析　原式＝×＝3.3．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象过定点(　　)A.  B．(1,0)  C．(0,1)   D.答案　 B解析　根据对数函数过定点(1,0)，令3x－2＝1，得x＝1，∴过定点(1,0)．4．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　由函数的解析式得即所以1≤x<.5．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　)A．a＝bc   B．b2＝acC．c＝ab   D．c2＝ab答案　C解析　∵正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，∴设log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝6k，∴c＝ab.6．函数f(x)与g(x)＝ax互为反函数，且g(x)过点(－2,4)，则f(1)＋f(2)等于(　　)A．－1  B．0  C．1  D.答案　A解析　由题意指数函数g(x)＝ax的图象过点(－2，4)，得4＝a－2，解得a＝，故函数g(x)＝x，故其反函数f(x)＝，故f(1)＋f(2)＝＝0－1＝－1.7．某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏．某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现，该植物在水面的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间t(单位：月，t∈N)的关系为y＝8×t，则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1 000倍需要的时间(时间：月)为(　　)A．20  B．22  C．24  D．26答案　C解析　刚投放时的面积为y＝8×0＝8，设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1 000倍，则8×t＝8×1 000，t＝＝≈＝24.8．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)答案　B解析　由函数y＝logax的图象过点(3,1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝x，则其函数图象错误；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图象正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图象错误；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图象错误．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.函数f(x)＝loga(bx)的图象如图，其中a，b为常数．下列结论正确的是(　　)A．0<a<1   B．a>1C. b>1   D. 0<b<1答案　BC解析　由于函数单调递增，∴a>1，又f(1)>0，即logab>0＝loga1，∴b>1.10．若ab>0，给出的下列四个等式，不一定成立的有(　　)A．lg(ab)＝lg a＋lg b   B．lg ＝lg a－lg bC.lg2＝lg    D．lg(ab)＝答案　ABD解析　∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，∴AB中的等式不一定成立；∵ab>0，∴>0，lg2＝×2lg ＝lg ，∴C中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴D中等式不一定成立．故选ABD.11．已知f(x)＝lg(4＋x)＋lg(4－x)，则f(x)(　　)A．是奇函数   B．是偶函数C．在(0,4)上单调递增   D．在(0,4)上单调递减答案　BD解析　由得x∈(－4,4)，故函数f(x)的定义域为(－4,4)，关于原点对称，又由f(－x)＝lg(4－x)＋lg(4＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，而f(x)＝lg(4＋x)＋lg(4－x)＝lg(16－x2)，y＝16－x2在(0,4)上单调递减，y＝lg x在(0,4)上单调递增，故函数f(x)在(0,4)上单调递减，故选BD.12．关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(　　)A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4D．函数f(x)有且仅有两个零点答案　ABD解析　函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示．由图可得，函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；若取f(x1)＝f(x2)＝1，则存在x1∈(2,3)，x2>4，所以x1＋x2≠4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．不等式log2x<1的解集是________________．答案　{x|0<x<2}解析　不等式log2x<1，即不等式log2x<log22，∴0<x<2.14．若a＝log23，b＝log32，则ab＝________，lg a＋lg b＝________.答案 　1　0解析　∵a＝log23，b＝log32，则ab＝·＝1，lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0.15．已知函数f(x)＝那么f ＝________ .答案　 解析　f ＝log2＝log22－3＝－3，f ＝f(－3)＝3－3＝.16．已知f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．答案　解析　∵f(x)＝logax(x≥1)是减函数，∴0<a<1，且f(1)＝0.∵f(x)＝(3a－1)x＋4a(x<1)为减函数，∴3a－1<0，∴a<.又∵f(x)＝是R上的减函数，∴(3a－1)×1＋4a≥0，∴a≥，∴a∈.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求值：(1)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57.(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.解　(1)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64＝÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.18．(12分)解不等式：loga(x－4)>loga(x－2)．解　(1)当a>1时，原不等式等价于该不等式组无解．(2)当0<a<1时，原不等式等价于解得x>4.所以当a>1时，原不等式的解集为空集；当0<a<1时，原不等式的解集为(4，＋∞)．19．(12分)画出函数f(x)＝|log3x|的图象，并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值．解　因为f(x)＝|log3x|＝所以在[1，＋∞)上，f(x)的图象与y＝log3x的图象相同，在(0,1)上，f(x)的图象与y＝log3x的图象关于x轴对称，据此可画出其图象，如图所示，由图象可知，函数f(x)的值域为[0，＋∞)，单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．当x∈时，f(x)在区间上单调递减，在(1,6]上单调递增，又f ＝2，f(6)＝log36<2，故f(x)在区间上的最大值为2.20．(12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．解　(1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，所以g(x)＝logax(a>0且a≠1)．因为g(x)的图象过点，所以loga2＝，所以＝2，解得a＝2.所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x.(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，g(0.2)＝log20.2<0，又g(1.5)＝log21.5<log22＝1，且g(1.5)＝log21.5>log21＝0，所以0<g(1.5)<1，所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2)．21．(12分)已知函数f(x)＝＋的定义域为A.(1)求集合A；(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值．解　(1)要使f(x)有意义，需满足所以即≤x≤4，所以集合A＝.(2)设t＝log2x，因为x∈，所以t∈[－1,2]，所以y＝t2－2t－1，t∈[－1,2]．因为y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2的对称轴为t＝1∈[－1,2]，所以当t＝1，即x＝2时，g(x)的最小值为－2，当t＝－1，即x＝时，g(x)的最大值为2.22．(12分)设f(x)＝为奇函数，a为常数．(1)求a的值； (2)证明：f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；(3)若在区间[3,4]上的每一个x，不等式f(x)>x＋m恒成立，求实数m的取值范围．(1)解　∵f(x)是奇函数，∴定义域关于原点对称，由>0，得(x－1)(1－ax)>0.令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝，∴＝－1，解得a＝－1.经验证a＝－1，满足题意．(2)证明　由(1)可知f(x)＝＝(x>1)，令u(x)＝1＋(x>1)，对任意1<x1<x2，有u(x1)－u(x2)＝－＝＝.因为1<x1<x2，所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以>0，即u(x1)－u(x2)>0.所以u(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减．又因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(3)解　f(x)>x＋m在[3,4]上恒成立，即m<f(x)－x在[3,4]上恒成立，令g(x)＝f(x)－x.由(2)知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)在[3,4]上单调递增．所以g(x)min＝g(3)＝f(3)－3＝－，所以m<－，即实数m的取值范围为.