新教材北师大版步步高学习笔记必修一第六章 章末复习课【学案+同步课件】

一、抽样的基本方法

1．抽样方法有：简单随机抽样、分层随机抽样．一般地，当总体是由差异明显的几个层组成时选用分层随机抽样，否则，考虑用简单随机抽样；选用简单随机抽样时，当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数法．

2．抽样方法的选择与分层随机抽样中的计算，是常考查的知识点，要认真掌握，同时重点提升数学抽象和数学运算的核心素养．

例1　(1)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是__________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67

21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75

12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38

15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

答案　068

解析　由随机数表可以看出前4个样本的个体的编号是331,572,455,068.于是第4个样本个体的编号是068.

(2)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)

A.90   B．100

C．180   D．300

答案　C

解析　设样本中的老年教师人数为x，则＝，解得x＝180.

反思感悟　(1)随机数法的步骤

第一步，将个体编号；

第二步，在随机数表中任选一个数开始，规定读数方向；

第三步，从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码．

(2)分层随机抽样中容量的计算

分层随机抽样的特点是“按比例抽样”，即＝.

跟踪训练1　(1)下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　)

A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本

B．某饮料公司从仓库中的1 000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查

C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动

D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)

答案　D

解析　选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．

(2)某校为了了解学生学习的情况，采用分层随机抽样的方法从高一1 000人，高二1 200人，高三n人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n等于(　　)

A．860   B．720

C．1 020   D．1 040

答案　D

解析　分层随机抽样是按比例抽样的，

所以81×＝30，解得n＝1 040.

二、用样本的频率分布估计总体分布

1．频率分布直方图的构成及特征

2．掌握频率分布直方图的画法及其应用，重点提升数据分析与逻辑推理的核心素养．

例2　从某中学参加全国高中数学联赛预赛的500名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．

(1)根据表中已知数据，求①，②，③处的数值；

(2)补全在区间 [70,140] 上的频率分布直方图；

(3)若预赛成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么估计该校大约有多少学生能参加决赛？

解　(1)由表中数据知，随机抽取了50人，所以①＝＝0.32，②＝50×0.04＝2，

③＝1－0.08－0.1－0.32－0.08－0.04－0.02＝0.36.

故①②③处的数值分别为0.32,2,0.36.

(2)经计算，频率分布表为：

根据频率分布表可补全频率分布直方图，如下．

(3)在随机抽取的50名同学中有4＋2＋1＝7(名)同学预赛成绩不低于110分，可以去参加决赛，

故估计参加预赛的同学中能参加决赛的人数大概为500×＝70.

反思感悟　与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略

(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1可求出其他数据．

(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．

跟踪训练2 　对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图，如图所示：

(1)求表中M，p及图中a的值；

(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数．

解　(1)由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，

解得M＝40.

因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，

得m＝4，p＝＝＝0.10.

因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，

所以a＝＝0.12.

(2)因为该校高三学生有240人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数为240×0.25＝60.

三、用样本估计总体的数字特征

1．为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度．

2．掌握各个数字特征的意义及应用，重点提升数据分析与数学运算的核心素养．

例3　某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：

(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；

(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．

解　(1)甲＝×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，

乙＝×(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)

＝85(分)．

甲、乙两组数据的中位数分别为83分，84分．

(2)由(1)知甲＝乙＝85分，所以

s＝×[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，

s＝×[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.

①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；

②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；

③从方差来看，因为甲＝乙，s<s，所以甲的成绩较稳定；

④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；

⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．

综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．

反思感悟　用样本的数字特征估计总体的数字特征应注意的问题

(1)中位数用来描述数据的中心位置，众数体现了数据的最大集中点，平均数反映样本数据的总体水平．

(2)标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小．

跟踪训练3　某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其质量(单位：克)是否合格，分别记录抽查数据，获得质量数据如下．

甲：107,111,111,113,114,122

乙：108,109,110,112,115,124

(1)写出甲的众数和乙的中位数；

(2)根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间的产品的质量相对稳定．

解　(1)甲的众数是111，乙的中位数是111.

(2)设甲、乙两个车间产品质量的平均数分别为甲，乙，方差分别为s，s，

则甲＝＝113，

乙＝＝113.

s＝×[(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－113)2]＝21，

s＝×[(124－113)2＋(115－113)2＋(112－113)2＋(110－113)2＋(109－113)2＋(108－113)2]≈29.33，

由于甲＝乙，s<s，所以甲车间的产品的质量相对稳定．

四、样本的百分位数

1．一般地，一组数据的p分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p的数据小于或等于这个值，且至少有100% －p的数据大于或等于这个值．可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数．

2．掌握百分位数的计算及应用，重点提升数据分析与数学运算的核心素养．

例4　从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：

7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8，8.3，8.0.

(1)分别求出这组数据的25%,50%,95%分位数；

(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；

(3)若用25%,50%,95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．

解　(1)将所有数据按从小到大排序为

7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9.

12×25%＝3，而这组数据中第3位和第4位数分别为8.0,8.3，

所以这组数据的25%分位数为＝8.15.

12×50%＝6，而这组数据中第6位和第7位数分别为8.5,8.5，

所以这组数据的50%分位数为＝8.5.

12×95%＝11.4，而这组数据中第12位数为9.9，即95%分位数为9.9.

(2)12×15%＝1.8，而这组数据中第2位数为7.9，即15%分位数为7.9，

故产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.

(3)由(1)可知样本数据的25%分位数为8.15,50%分位数为8.5,95%分位数为9.9，

所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，

质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，

质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，

质量大于9.9 g的珍珠为特优品．

反思感悟　计算一组n个数据的p分位数的一般步骤

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算i＝np.

第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

跟踪训练4　某地教育部门为了调查考生在数学考试中的有关信息，从上次参加考试的10 000名考生中用分层随机抽样的方法抽取500名，并根据这500名考生的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，估计这10 000名考生中数学成绩的第80百分位数是多少．

解　考生中成绩在130分以下的频率为

(0.016＋0.004＋0.012＋0.016＋0.024)×10＝0.72，

考生中成绩在140分以下的频率为

0．72＋0.020×10＝0.92，

∴成绩的第80百分位数一定在[130,140)之间．

由130＋×10＝134.

估计考生成绩的第80百分位数为134分．