高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.4 圆与圆的位置关系图片ppt课件

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2.4　圆与圆的位置关系
第一章　§2　圆与圆的方程
学习目标
1.了解圆与圆的位置关系.
2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.
3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.
导语
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.
内容索引
两圆位置关系的判断

一
知识梳理
1.代数法：设两圆的一般方程为
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
2
1
0
2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心距的长为d，则两圆的位置关系如下：
>
＝
＝
<
(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系.(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.
注意点：
　　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；
圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.
(2)相交；
当3<|C1C2|<5，即3(3)外离；
当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.
(4)内含.
当|C1C2|<3，即0判断两圆的位置关系的三种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.(3)根据公切线的条数有时也可判断两圆的位置关系.
反思感悟
　　　(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a(a>0)恰有三条公切线，则实数a的值是A.4 　　　B.6 　　　 C.16 　　　D.36
圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
√
解得a＝16.
(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有____条.
4
到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，1为半径的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条.
利用两圆的位置关系求圆的方程

二
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题意知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
延伸探究　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－　 )的圆的方程”.
因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
反思感悟
通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.
　　　圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1).(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.又因为圆O2的圆心O2(2,1)，
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2　 ，求圆O2的方程.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4；
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
相交弦及圆系方程问题

三
　　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B两点的坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2).设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
反思感悟
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆方程相减得公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
反思感悟
(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
　　　圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为____________________________________________.
(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y
－6＝0)
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1).
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法三　设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
课堂小结
1.知识清单： (1)两圆的位置关系. (2)两圆的公共弦. (3)圆系方程.2.方法归纳：几何法、代数法.3.常见误区：将两圆内切和外切相混.
随堂演练

1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是A.外离 B.相交C.外切 D.内切
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把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，
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2.(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为A.2　　　 B.－5 　　　C.－2 　　　 D.5
√
圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.
即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.
√
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3.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是__________________________________________.
设圆C的半径为r，
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4；当圆C与圆O内切时，|r－1|＝5，解得r＝6，则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
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4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2　 ，则a＝____.
将两圆的方程相减，
所以a＝1.
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课时对点练

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1.圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为A.相交 　　　B.外切 　　 　C.内切 　　　 D.外离
√
由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，所以d＝r1－r2，所以两圆内切.
2.圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
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圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，
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3.圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有A.1条 　　　 B.2条 　　　C.3条 　　　 D.4条
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圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.
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4.已知圆C：x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36内切，则实数m的值为A.0 B.－120C.0或－120 D.5
√
将圆C：x2＋y2－2x＋m＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1－m(m<1)，
解得m＝0或m＝－120.
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5.圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为
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由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.
圆O的半径r＝2，
6.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9C.(x－2)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49
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由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2.A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.
∴两圆相交；B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，∵|C2C|＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件；
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C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5，∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切，满足条件；D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切，满足条件.
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7.已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是_____________.
4a2＋b2＝1
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圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a,0)，半径长为2.圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.圆心坐标为(0，b)，半径长为1.由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，
整理得4a2＋b2＝1.
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由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，
8.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_______________________.
9.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
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由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
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设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，
由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，
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解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
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10.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
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圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意.②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1).即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，
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所以直线方程为5x－12y＋7＝0.综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.
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(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.
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依题意，设D(a，a＋2).又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知|CD|＝5，
化简得a2－5a－6＝0，解得a＝－1或a＝6.∴D(－1,1)或D(6,8)，∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
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11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距|C1C2|为
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∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上.设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
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12.(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则下列结论正确的为A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0B.线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0
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对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为－1，即线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；
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13.如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为　 ，则实数a的取值范围是A.(－3，－1)∪(1,3) B.(－3,3)C.[－1,1] D.(－3，－1]∪[1,3)
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依题意，得圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆M：x2＋y2＝2有两个交点，即两圆相交.
即1<|a|<3.故－31
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14.若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为____.
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如图所示，由于⊙O与⊙O1在点A处的切线互相垂直，因此OA⊥O1A，
又OO1垂直平分线段AB，设线段AB与x轴的交点为C，在Rt△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|，
故|AB|＝2|AC|＝4.
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15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:x2＋y2＝8与圆C2:x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为______________________.
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由题意知，直线AB的方程为2x＋y＋8－a＝0，当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，设C1到AB的距离为d，因为△ABP为等腰直角三角形，
当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1，则8－a＝0，即a＝8.
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故圆M与圆N外离.
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设P(x0，y0)，
又PG为∠APB的角平分线，