数学选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程课堂教学免费课件ppt

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1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导.
3.会求简单的椭圆的标准方程.
“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像.“嫦娥
二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，那么椭圆到底有怎样的几何特征，我们该如何研究椭圆，就让我们开始今天的探究之旅.
问题1　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把
提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这 叫作椭圆的焦点，______________________叫作椭圆的焦距.
常数(大于|F1F2|)
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
　　如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
如图，连接QA.由已知，得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|0)，则点P的轨迹是A.椭圆 B.线段C.射线 D.椭圆或线段
所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆或线段.
问题2　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示　观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，且M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|}.
对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
问题3　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
　　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
因为椭圆的焦点在y轴上，
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
确定椭圆标准方程的方法(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
　　　(1)已知椭圆　　　＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为
(2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0,4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为_____________.
依题意，c＝4，且焦点在y轴上，又∵2a＝10，∴a＝5，∴b2＝a2－c2＝9，
1.知识清单： (1)椭圆的定义及其应用. (2)椭圆的标准方程.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区： (1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系. (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是A.椭圆 　　　 B.直线 　　　C.圆 　　　D.线段
∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段.
2.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.(0，＋∞) B.(0,2)C.(1，＋∞) D.(0,1)
∵方程x2＋ky2＝2，
4.已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为
由题意得c＝1，由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
1.椭圆　　　 ＝1的焦点坐标是A.(±5,0) B.(0，±5)C.(0，±12) D.(±12,0)
椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，所以c2＝a2－b2＝144，所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).
2.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是A.当a＝2时，点P的轨迹不存在B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
当a＝2时，2a＝4|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
3.△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC的周长为16，则顶点C的轨迹方程为
由题意知点C到A，B两点的距离之和为10>6，故点C的轨迹为以A(－3,0)，B(3,0)为焦点的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16，又△ABC中A，B，C三点不能共线，
根据椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.椭圆　　　＝1的焦距是2，则m的值是A.3 　　　B.5　 　　C.3或5 　　　D.不存在
∵2c＝2，∴c＝1.当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.∴m－4＝1，m＝5.当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.
7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为 　 ，则此椭圆的标准方程为___________.
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，
8.已知椭圆C： 　　＝1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝_____.
如图，取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).由椭圆的定义知，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
由题意知，2a＝26，即a＝13，又c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，
10.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)，
∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(O为坐标原点，F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，
12.设P是椭圆　 　＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为A.9,12 B.8,11C.8,12 D.10,12
如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M′，N′两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8,12.
13.若椭圆3x2－ty2＝6的一个焦点为F(0,2)，则实数t＝_____.
由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.∵△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，|AC|＝2c＝6，
15.已知F1，F2是椭圆　 　＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________.
知a2＝9，b2＝7，c2＝2.
设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x.因为∠AF1F2＝45°，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1||F1F2|·cs∠AF1F2，
16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
(1)求曲线C的标准方程；
由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?