高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质课文ppt课件

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第2课时　抛物线的简单几何性质(二)
第二章　3.2　抛物线的简单几何性质
学习目标
1.掌握与抛物线有关的轨迹问题.
2.会利用抛物线定义求解相关的最值问题.
3.能利用抛物线方程解决一些实际问题.
内容索引
三、抛物线方程的实际应用
课时对点练
随堂演练
与抛物线有关的轨迹问题

一
y2＝4x
设点M坐标为(a,0)，N点坐标为(0，b)，点P坐标为(x，y)，
代入a＝－b2可得y2＝4x.
求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程.
反思感悟
　　　平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
方法一　设点P的坐标为(x，y)，
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
故动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0).
方法二　由题意知动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点符合题意；
当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0).
抛物线定义的应用

二
　　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标.
如图，作PN⊥l于点N(l为准线)，作AB⊥l于点B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时取等号.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝2，所以P点坐标为(2,2).
延伸探究　本例条件“点A(3,2)”去掉，其他条件不变，求点P到直线l：3x－4y＋ ＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
如图，过点P作PA⊥l，PQ⊥l1，l1为其准线，则|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|≥|AF|min.
反思感悟
解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
　　　若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离.
由抛物线定义，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理，
当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，所以xmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1.
抛物线方程的实际应用

三
　　如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，求水面的宽度.
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.所以x2＝－2y.当水面下降1 m时，得D(x0，－3)(x0>0)，
反思感悟
求抛物线实际应用的五个步骤
　　　某桥的桥形可近似地看成抛物线(如图所示)，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为
√
如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy.设抛物线为x2＝－2py(p>0)，结合题意可知，
课堂小结
1.知识清单： (1)轨迹问题. (2)抛物线定义的应用. (3)抛物线的实际应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：用定义法求轨迹未考虑变量的取值范围而致误.
随堂演练

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1.已知点A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是
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设M的坐标为(x，y)，由题意可知B(2x,2y＋1)，动点B在抛物线y＝2x2＋1上运动，
2.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是A.4 　　　B.6 　　　C.8 　　　D.12
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由抛物线的方程得准线方程为x＝－2，根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
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3.点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1的距离之和的最小值是
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依题意设P在抛物线准线上的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F(1,0).由y2＝4x可知x＝－1是抛物线的准线，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，
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4.抛物线y＝4x2上的点到其准线的距离的最小值为_____.
课时对点练

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抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离为y0＋4，∴y0＋4＝3y0，解得y0＝2.
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2.在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足　　　　　　　，则动点P的轨迹方程是A.y2＝4x B.x2＝4yC.y2＝－4x D.x2＝－4y
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设P(x，y)，M(－1,2)，N(1,0)，
整理得y2＝4x.
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3.若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是A.x＋4＝0 B.x－4＝0C.y2＝8x D.y2＝16x
√
依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2＝16x.
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则|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值为B到准线的距离，
当PB垂直于准线时取最小值.
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5.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为
已知直线l1：x＝－1为抛物线的准线，那么根据抛物线的定义得点P到l1的距离等于点P到焦点F(1,0)的距离，过焦点F(1,0)作l2的垂线交抛物线于P(该点即为要求的点)，垂足为D，
6.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点A.0.5 m 　　　B.1 m　　　 C.1.5 m　　　 D.2 m
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若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1,0.25)，代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
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7.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝ x0，则x0＝____.
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∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2.
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9.2021年5月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度.
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如图所示，建立平面直角坐标系，由题意得A(－6，－6)，B(6，－6)，设该抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，代入A点，得36＝－2p(－6)，解得p＝3，故该抛物线方程为x2＝－6y，
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10.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5.(1)求抛物线C的方程；
所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x.
因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，
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(2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程.
而点P(x0，y0)在抛物线C上，
由(1)可知F(2,0)，设P(x0，y0)，M(x，y)，
所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)，所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1).
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11.M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是
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设圆心(－1,4)关于直线对称的点为C(x，y)，
曲线C为(x－3)2＋y2＝1，设M(a2，a)，
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13.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若　　　　 ，则|QF|＝____.
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过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图.
∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，∴|QF|＝|QQ′|＝3.
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14.已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－6)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是___，此时点M的坐标为________.
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设M在直线y＝－1上的射影为P，因为|MF|等于M到直线y＝－1的距离，连接MC，AC(图略)，则有|MC|－1≤|MA|≤|MC|＋1，所以|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MP|≥|MC|－1＋|MP|≥|PC|－1，所以当M，P，C(A在线段MC上)三点共线时，|MA|＋|MF|有最小值，此时|MA|＋|MF|＝|PC|－1＝6＋1－1＝6，xM＝xC＝－1，
15.(多选)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长可以为A.8 　　　 B.9 　　　C.10 　　　D.12
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由题意知抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，根据抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2.又圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，所以△FAB的周长＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，所以xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12).故选BC.
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16.已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M到定点A　 　和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程.
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则|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.当A，M，A′共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5，
所以抛物线方程为y2＝6x.
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当A，M，F共线时取等号，|AF|＝5，
所以p＝1或p＝13(舍)，所以抛物线方程为y2＝2x.
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③当点A在抛物线上，
综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.