数学选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题多媒体教学ppt课件

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4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
第二章　§4　直线与圆锥曲线的位置关系
学习目标
1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.
2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题.
内容索引
弦长公式

一
问题　已知直线l：y＝kx＋m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的长度如何表示？
知识梳理
当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积.(2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论.(3)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦AB，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
注意点：
　　已知斜率为1的直线l过椭圆 ＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求|AB|.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为直线斜率为1，
求弦长的两种方法(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解；(2)结合根与系数的关系，利用弦长公式
反思感悟
由题意得p＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋6＝12.
　　　(1)过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|等于A.16 　　　 B.12　　　 C.10　　　 D.8
√
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB的斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，
(2)过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为________.
由弦长求参数值

二
(1)试求动点P的轨迹方程C；
设动点P的坐标是(x，y)，
(2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝ 　 时，求直线l的方程.
设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
Δ＝16k2>0，
整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1，或k2＝－2(舍去).
经检验k＝±1符合题意，∴直线l的方程为y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
反思感悟
已知弦长求参数值，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程，注意求得结果要验证是否满足判别式大于0，否则需舍去.
∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2，与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，由Δ>0得a2>32，
∴a2＝36，b2＝9.
弦长的最值问题

三
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值.
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当m＝0时，满足Δ>0，|AB|max＝4.
延伸探究　本例条件不变，求△AOB面积的最大值.
反思感悟
求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理.(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围.
　　　已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.(1)若点M(1,1)，求以M为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
∵点M在抛物线y2＝4x含焦点F的区域内，∴中点弦所在的直线存在.设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ>0，
同理|CD|＝4k2＋4，
当且仅当k＝±1时取得最小值.
课堂小结
1.知识清单： (1)弦长问题. (2)与弦长有关的最值问题.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况.
随堂演练

1.AB是过抛物线C：y2＝4x焦点的弦，且|AB|＝10，则线段AB的中点横坐标为A.4 　　　B.3 　　　 C.2 　　　D.1
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因为抛物线C：y2＝4x，所以p＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB过抛物线的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝10，则x1＋x2＝8，
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2.直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为
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消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ＝121－4×2×8＝57>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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3.过椭圆　　 ＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为_____.
4,3
过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，
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课时对点练

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1.椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为
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△PF2Q的周长为36.所以4a＝36，a＝9.
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2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是
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消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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5.已知F是椭圆　　　＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为A.6 　　　 B.15　　　 C.20 　　　D.12
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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6.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为A.18 　　　B.36　　　 C.45　　　 D.60
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设抛物线的解析式为y2＝2px(p>0)，
如图，过点P作PD⊥AB于点D.∵直线l经过抛物线的焦点，A，B是l与C的交点，又AB⊥x轴，∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6.又∵点P在准线上，
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解得m＝9.
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x＋2y－3＝0
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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①②两式相减可得
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把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20>0，
设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2.
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解得m＝0.因此，所求直线的方程为y＝x.
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10.已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，点D为其准线与x轴的交点，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，求△DAB的面积S的取值范围.
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抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，D(－1,0)，设过点F的直线l：x＝ty＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理得y2－4ty－4＝0，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
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故△DAB的面积S的取值范围为[4，＋∞).
11.直线l经过点(4,2)，且与抛物线C：y2＝4x交于P，Q两点，若P与Q的纵坐标之和为4，则直线l的方程为A.x－y＋2＝0 B.x－2y－6＝0C.x－y－2＝0 D.x－2y＝0
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由题意得直线l经过点(4,2)，且斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，又∵P与Q的纵坐标之和为4，即y1＋y2＝4，可知k>0，
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得ky2－4y＋8－16k＝0，
故所求直线方程为x－y－2＝0.
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设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m，
Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2>0，即0≤m20，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
15.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位：千米).
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根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ长最短时，OQ的长为______千米.
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由题意设PQ的方程为y＝kx＋b，
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(1)求椭圆E的方程；
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设点F(c,0)，
解得a＝2，b＝1，
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(2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程.
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设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－2，
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则4k2＝t2＋3.