北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何1 空间直角坐标系1.1 点在空间直角坐标系中的坐标多媒体教学课件ppt

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1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标.
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，因此我们引入了坐标及其运算.
问题1　在数轴上确定点的位置需要几个实数？在平面直角坐标系中确定一个点需要几个实数？
提示　在数轴上，一个实数确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对(x，y)才能确定一个点.
空间直角坐标系：过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴： ，这样就建立了一个空间直角坐标系 .点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面.
(1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分.(2)将x轴和y轴放在水平面上.(3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合.(4)建立的坐标系一般为右手系.
点在空间直角坐标系中的坐标
问题2　如果点P是空间直角坐标系O－xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？
提示　类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可.
如图，当点P不在任何坐标平面上时，过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点A、点B和点C，则点A，B，C分别是点P在x轴、y轴和z轴上的投影.设点A在x轴上、点B在y轴上、点C在z轴上的坐标依次为a，b，c，那么点P就对应唯一的三元有序实数组(a，b，c).
空间中点的坐标在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用 的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z).三元有序实数组( )叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P( )，其中 叫作点P的横坐标， 叫作点P的纵坐标， 叫作点P的竖坐标.
(1)过点P作垂直于坐标轴的平面，与三条坐标轴分别交于点A、点B和点C，实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，垂足分别为点A，B，C.设点A，B，C的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).(2)
　　(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则①顶点A，D1的坐标分别为________________；②棱C1C中点的坐标为__________；③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为___________.
(0,0,0)，(0,1,1)
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
(1)建立空间直角坐标系的原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点M的坐标的方法①垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线.注意坐标符号.②公式法：利用中点坐标公式、重心坐标公式求出坐标.
③方程(组)法：利用向量平行或相等关系设出所求点的坐标，建立方程组.作MM′垂直于xOy平面，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上投影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z).
　　　设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求各个顶点的坐标.
如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上.∵|P1P2|＝2，且P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0).
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0).
(答案不唯一，也可选择其他的点建系)
　　在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4).(1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标；
由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标；
由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4).
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标.
设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12).
空间点对称问题的解题策略(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
　　　已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为_____________.
点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1).
1.知识清单： (1)空间直角坐标系的概念. (2)点在空间直角坐标系中的坐标. (3)空间点的对称问题.2.方法归纳：数形结合、类比联想.3.常见误区：由于对右手系理解有误而导致建立的坐标系不符合要求.
1.在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于xOy平面对称的点的坐标是A.(－1,3，－5) B.(1,3,5)C.(1，－3,5) D.(－1，－3,5)
点到yOz平面的距离就是点的横坐标的绝对值.
2.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到yOz平面的距离是A.1 　　　B.2　　　 C.3　　　 D.
3.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.建立如图所示的空间直角坐标系，则点B，C，E，A1的坐标分别为________________________________.
(2,2,0)，(0,2,0)，(0,2,1)，(2,0,4)
4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为___________，点P关于z轴的对称点P2的坐标为______________.
点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1).
1.(多选)下列命题中正确的是 A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)B.在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D.在空间直角坐标系中，在zOx平面上的点的坐标是(a,0，c)
空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0).故A错误，B，C，D正确.
2.在空间直角坐标系O－xyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2,4)C.(1,2，－4) D.(1,2,4)
关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4).
3.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝3，|OC|＝5，|OO1|＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为
设点P在x轴、y轴、z轴上的投影分别为P1，P2，P3，
4.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(－1,2,3)A.关于xOy平面对称 B.关于zOx平面对称C.关于yOz平面对称 D.关于x轴对称
空间中的两个点(1,2,3)和(－1,2,3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于yOz平面对称.
连接BD(图略)，点P在xDy平面的投影落在BD上，
6.在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在zOx平面上的投影的坐标为A.(4,0,6) B.(－4,7，－6)C.(－4,0，－6) D.(－4,7,0)
点M的坐标是(4,7,6)，点M关于y轴对称的点为M′(－4,7，－6)，点M′在zOx平面上的投影的坐标为(－4,0，－6).
7.已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为_________________________.
(1,1,1)或(－1，－1，－1)
分别过点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(1,1,1).或过点(－1,0,0)，(0，－1,0)，(0,0，－1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(－1，－1，－1).
8.点P(－3,2，－1)关于zOx平面的对称点是_________________，关于x轴的对称点是_____________，关于点M(1,2,1)的对称点是_______.
点P关于zOx平面对称后，纵坐标变为相反数，其他不变，故对称点坐标为(－3，－2，－1)；点P关于x轴对称后，横坐标不变，纵、竖坐标变为相反数，故对称点坐标为(－3，－2,1)；设P关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)，
所以x＝5，y＝2，z＝3.
9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标.
正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，
10.在棱长为a的正四棱锥P－ABCD中，建立适当的空间直角坐标系，写出正四棱锥P－ABCD各个顶点的坐标.
如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，
以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
11.在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为
12.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是A.点B1的坐标为(4,5,3)B.点C1关于点B对称的点为(5,8，－3)C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
根据题意知，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确；B的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)，故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，选项B错误；
所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，选项C正确；点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，选项D正确.
13.已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为A. B.(2,3,1)C.(－3,1,5) D.(5,13，－3)
连接AC，BD交于点P(图略)，则P为AC与BD的中点，
再由B(2，－5,1)，求得点D的坐标为(5,13，－3).
14.如图，正方体AOCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴对称的点的坐标为________________.
因为D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)，所以点M关于y轴对称的点的坐标为(－1，－2，－1).
15.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则B点坐标为_________________，A点坐标为______________.
16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|AA1|＝2，|AB|＝4，DE⊥AC，垂足为E，求点E的坐标.
如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，设点E的坐标为(x，y,0)，
即2x＋y－4＝0，∵DE⊥AC，∴直线DE的方程为x－2y＝0.