北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何1 空间直角坐标系1.2 空间两点间的距离公式课文内容课件ppt

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1.2　空间两点间的距离公式
第三章　§1　空间直角坐标系
学习目标
1.了解推导空间两点间的距离公式的过程.
2.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离.
导语
距离是几何中的基本度量，在平面解析几何中，已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的长度为 　　　　　 ，那么在空间直角坐标系中，若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的长度与其坐标又有怎样的关系呢？
内容索引
空间两点间的距离公式

一
问题1　在空间直角坐标系中，点O(0,0,0)到点P(x0，y0，z0)的距离怎么求？
提示　如图，
|OA|＝|x0|，|OB|＝|y0|，|OC|＝|z0|，
问题2　空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离怎么求？
提示　作长方体使A，B为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴，由已知得，C(x2，y1，z1)，D(x2，y2，z1)，
|AC|＝|x1－x2|，|CD|＝|y1－y2|，|DB|＝|z1－z2|，
已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离|PQ|＝ .
知识梳理
(1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根.(2)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝　　　　　.(3)x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球的方程.
注意点：
　　如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求|MN|的长.
建立如图所示的空间直角坐标系，过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF，显然MF垂直于平面ABCO，所以MF⊥NF，因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|，又|AN|＝2|CN|，
反思感悟
在具体的立体几何图形中，需结合图形的特征，建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式求解.
　　　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求|DE|，|EF|的长度.
以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0，2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
求空间点的坐标

二
　　设点P在x轴上，它到点P1(0，　，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标.
因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)，因为|PP1|＝2|PP2|，
所以x＝±1，所以点P坐标为(1,0,0)或(－1,0,0).
反思感悟
由空间两点间距离求点的坐标的方法(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
　　　已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标.
设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，由|AP1|＝|AP2|，
所以x＝－3，同理，由|BP1|＝|BP2|，得y＝－1，
空间两点间距离公式的综合应用

三
　　已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB，BC，BE两两垂直.过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G，H，连接NG，易证NG⊥AB.∵|CM|＝|BN|＝a，
∴以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
(2)当a为何值时，|MN|的长最小.
反思感悟
距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值.
　　　(1)已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是_______三角形.
等腰
∵|BC|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形.
(2)在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P，Q两点间的最小距离.
由于S－ABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的投影R在OC上(图略)，又因为底面边长为a，
而侧棱长也为a，所以|SO|＝|OC|，于是|PR|＝|RC|，
又因为Q点在底面ABCD的对角线BD上，所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，
这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心.
课堂小结
1.知识清单： (1)两点间的距离公式的推导. (2)利用两点间距离公式求距离. (3)距离中的最值问题.2.方法归纳：函数法求最值.3.常见误区：由于点的坐标寻找不正确，而导致距离求解错误.
随堂演练

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2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2　 ，则实数x的值是A.－2 　　　 B.6　　　 C.－2或6 　　　 D.4
√
解得x＝6或x＝－2.
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3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________.
A′(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，
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4.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为_____.
当a＝－1时，|AB|的值最小，
课时对点练

1.已知空间两点A(3,3,1)，B(－1,1,5)，则线段AB的长度为
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空间两点A(3,3,1)，B(－1,1,5)，
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2.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，那么该定点到原点的距离是
设该定点坐标为(x，y，z)，因为在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，
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设点A的坐标为(0,0，z)，
又|AQ|＝|PA|，所以z2－6z＋11＝z2＋2z＋2，
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4.△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C 　　　　，则它在yOz平面上的投影图形的面积是A.4 　　　B.3 　　　C.2　　　 D.1
√
△ABC的顶点在yOz平面上的投影的坐标分别为(0,1,1)，(0,2,1)，(0,2,3)，它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.
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点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点的坐标M(1,1，－1)，一束光线自点P(1,1,1)发出，
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6.在空间直角坐标系中，已知点A(3,1,2)，B(－1，－2，1)及动点M(x，y，－1)，则|AM|＋|BM|的最小值为
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设点A(3,1,2)关于平面z＝－1对称的点A1(3,1，－4)，则|AM|＋|BM|的最小值为线段A1B的长度，
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7.已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为______.
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8.已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是_____.
64
又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)不在同一表面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.
所以正方体的体积为64.
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9.直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求|MN|的长.
如图，以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C－xyz.∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2，
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10.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)线段AB的中点坐标及|AB|的长度；
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设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点，则根据中点坐标公式得
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(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.
因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，
化简得4x＋6y－8z＋7＝0.即点P(x，y，z)的坐标满足的条件为4x＋6y－8z＋7＝0.
11.(多选)下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3的是A.(1,1,1) B.(1,2,2) C.(2，－3,5) D.(3,0,4)
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可得，到原点的距离不小于5的为C，D，且满足到x轴的距离大于3.
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12.在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点有A.1个 　　　 B.2个　　 　C.3个 　　　D.无数个
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由空间两点间距离公式可得
易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等，而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等，故在空间直角坐标系中有无数个点到A，B，C三点的距离相等.
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13.空间直角坐标系中，设A(－1,2，－3)，B(－1,0,2)，点M和点A关于y轴对称，则|BM|＝____.
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因为空间直角坐标系中，A(－1,2，－3)，B(－1，0,2)，点M和点A关于y轴对称，
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因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2.
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设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，O(0,0,0)，
＝|PO|＋|PM|，由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，
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16.点P在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上，点P到点M(2a,2a＋5，a＋2)的距离最小，求点P的坐标.
由已知可设点P(a,3a＋6,0)，
所以当a＝－1时，|PM|取最小值，所以在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上取点P(－1,3,0)时，点P到点M的距离最小.