北师大版 (2019)3.1 空间向量基本定理背景图课件ppt

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1.理解空间向量基本定理及其意义.
2.会用基向量表示空间向量.
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫作表示这一平面内所有向量的一组基.类似地，任意一个空间向量p能否用空间三个不共面的向量a，b，c表示呢？
问题1　如图，设a，b，c是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ 　，p 能否用a，b，c表示呢？
1.空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在 的三元有序实数组(x，y，z)，使得_______________.2.我们把{a，b，c}叫作空间向量的一组 ，其中a，b，c都叫作基向量.
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同.(2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
基的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一组基.(2)判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
　　　(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间一组基的向量组有A.{a，b，x} B.{x，y，z}C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}
由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.
因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，
用基向量表示空间向量的步骤(1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基.(2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
方法一　如图所示，取PC的中点E，连接NE，
空间向量基本定理的综合应用
提示　x＋y＋z＝1.证明如下：(1)充分性
(2)必要性∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线，
又∵点O在平面ABC外，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1.
　　(1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是
∴P，A，B，C四点共面.故B正确；
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C正确；
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面.
又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面.
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示.
　　　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四点共面.
如图，连接EG，BG.
1.知识清单： (1)空间向量基本定理. (2)用基向量表示空间向量. (3)四点共面的充要条件.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区： (1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件. (2)运算错误，利用基表示向量时计算要细心.
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基，则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当一组基，否则不能当，当{a，b，c}为一组基时，一定有a，b，c为非零向量.因此p⇏q，q⇒p.
A选项中，3－1－1＝1，四点共面，
∴点M，A，B，C共面.
4.如图，在正四面体P－ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，D是线段MN上一点，且ND＝2DM，若　　　　　　　　 　，则x＋y＋z的值为______.
1.(多选)若{a，b，c}是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是A.{a,2b,3c}B.{a＋b，b＋c，c＋a}C.{a＋b＋c，b＋c，c}D.{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}
因为{a，b，c}是空间向量的一组基，所以a，b，c不共面，对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间向量的一组基；对于D，{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间向量的一组基.
2.(多选)给出下列命题，其中是真命题的是A.若{a，b，c}可以作为空间向量的一组基，d与c共线，c≠0，d≠0，　则{a，b，d}也可以作为空间向量的一组基B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间向量的一组基C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若 　　　　　　 不能构成空间向　量的一组基，则A，B，M，N四点共面D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，　则{a，b，c}能构成空间向量的一组基
A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝　　 a＋ b，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真命题；B中，根据基的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间向量的一组基，显然B是真命题；C中，由　　　　　　有公共点B，∴A，B，M，N四点共面，即C是真命题；D中,∵a，b，c共面, ∴{a，b，c}不能构成空间向量的一组基，故D错误.
A.四点O，A，B，C必共面B.四点P，A，B，C必共面C.四点O，P，B，C必共面D.五点O，P，A，B，C必共面
所以P，A，B，C四点共面.
取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示，
方法二　因为点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，
(2)判断点M是否在平面ABC内.
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
12.若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝____.
由已知得，d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.又d＝e1＋2e2＋3e3，
如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，
连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).
∵点D，E，F，M共面，