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北师大版 (2019)3.1 空间向量基本定理背景图课件ppt
展开1.理解空间向量基本定理及其意义.
2.会用基向量表示空间向量.
回顾平面向量基本定理,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内所有向量的一组基.类似地,任意一个空间向量p能否用空间三个不共面的向量a,b,c表示呢?
问题1 如图,设a,b,c是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点O,对于任意一个空间向量p= ,p 能否用a,b,c表示呢?
1.空间向量基本定理:如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在 的三元有序实数组(x,y,z),使得_______________.2.我们把{a,b,c}叫作空间向量的一组 ,其中a,b,c都叫作基向量.
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基.基选定后,空间的所有向量均可由基唯一表示;不同基下,同一向量的表达式也有可能不同.(2)一组基是一个向量组,一个基向量是指基中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.
∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3,
基的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一组基,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就可以作为一组基.(2)判断基时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
(多选)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一组基,则下列向量组中,可以作为空间一组基的向量组有A.{a,b,x} B.{x,y,z}C.{b,c,z} D.{x,y,a+b+c}
由于A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面.
因为M为BC′的中点,N为B′C′的中点,
用基向量表示空间向量的步骤(1)定基:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基.(2)找目标:用确定的基(或已知基)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间向量的一组基{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
方法一 如图所示,取PC的中点E,连接NE,
空间向量基本定理的综合应用
提示 x+y+z=1.证明如下:(1)充分性
(2)必要性∵点P在平面ABC内,A,B,C三点不共线,
又∵点O在平面ABC外,
∴x=1-m-n,y=m,z=n,∴x+y+z=1.
(1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是
∴P,A,B,C四点共面.故B正确;
由共面的充要条件知P,A,B,C四点共面,故C正确;
(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2,求证:A1,B,N,M四点共面.
又∵三向量有相同的起点A1,∴A1,B,N,M四点共面.
(2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示.
已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证:E,F,G,H四点共面.
如图,连接EG,BG.
1.知识清单: (1)空间向量基本定理. (2)用基向量表示空间向量. (3)四点共面的充要条件.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区: (1)基向量理解错误,没有注意到基向量的条件. (2)运算错误,利用基表示向量时计算要细心.
1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间向量的一组基,则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当一组基,否则不能当,当{a,b,c}为一组基时,一定有a,b,c为非零向量.因此p⇏q,q⇒p.
A选项中,3-1-1=1,四点共面,
∴点M,A,B,C共面.
4.如图,在正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,D是线段MN上一点,且ND=2DM,若 ,则x+y+z的值为______.
1.(多选)若{a,b,c}是空间向量的一组基,则下列各组中能构成空间向量的一组基的是A.{a,2b,3c}B.{a+b,b+c,c+a}C.{a+b+c,b+c,c}D.{a+2b,2b+3c,3a-9c}
因为{a,b,c}是空间向量的一组基,所以a,b,c不共面,对于A,B,C选项,每组都是不共面的向量,能构成空间向量的一组基;对于D,{a+2b,2b+3c,3a-9c}满足3a-9c=3[(a+2b)-(2b+3c)],所以这三个向量是共面向量,故不能构成空间向量的一组基.
2.(多选)给出下列命题,其中是真命题的是A.若{a,b,c}可以作为空间向量的一组基,d与c共线,c≠0,d≠0, 则{a,b,d}也可以作为空间向量的一组基B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间向量的一组基C.已知A,B,M,N是空间中的四点,若 不能构成空间向 量的一组基,则A,B,M,N四点共面D.若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0), 则{a,b,c}能构成空间向量的一组基
A中,假设d与a,b共面,则存在实数λ,μ,使得d=λa+μb,∵d与c共线,c≠0,∴存在实数k,使得d=kc,∵d≠0,∴k≠0,从而c= a+ b,∴c与a,b共面,与已知条件矛盾,∴d与a,b不共面,即A是真命题;B中,根据基的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间向量的一组基,显然B是真命题;C中,由 有公共点B,∴A,B,M,N四点共面,即C是真命题;D中,∵a,b,c共面, ∴{a,b,c}不能构成空间向量的一组基,故D错误.
A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面
所以P,A,B,C四点共面.
取AC的中点N,连接BN,MN,如图所示,
方法二 因为点P在平面ABC内,O是平面ABC外的任意一点,
(2)判断点M是否在平面ABC内.
所以M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.
12.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ=____.
由已知得,d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3.又d=e1+2e2+3e3,
如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,则点E为BC的中点,
连接AG并延长交BC于点H,连接DM(图略).
∵点D,E,F,M共面,
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