2020-2021学年4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系集体备课课件ppt

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第1课时　用向量方法研究立体几何中的度量关系(一)
第三章　4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系
学习目标
1.会用向量法求线线角、线面角.
2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系.
导语
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与地球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄
道十二宫”.从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来.
内容索引
两条直线所成的角

一
问题　若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉有怎样的关系？
提示　相等或互补.
知识梳理
两直线的方向向量所成的角与两直线所成的角相等或互补.
注意点：
　　如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，AA1＝AC＝CB＝ AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
连接AC1，交A1C于点O，连接DO，则O为AC1的中点，如图.因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)求直线A1D与直线BC1所成角的余弦值.
所以AC⊥BC，又因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以以点C为坐标原点，
求异面直线夹角的步骤(1)确定两条异面直线的方向向量.(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.(3)得出两条异面直线所成的角.(4)回归原题，写出结论.
反思感悟
　　　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则MB1与D1N所成角的余弦值为
√
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
直线与平面所成的角

二
知识梳理
|cos〈l，n〉|
图1　　　　　　图2
(1)除了用向量求线面角外，还可以根据直线与平面所成的角的定义，确定出待求角，转化为两直线所成的角求解即可.(2)线面角的正弦值sin θ＝|cos〈l，n〉|.
注意点：
　　如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝　AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点.
(1)证明：CM⊥SN；
设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小.
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
设直线SN与平面CMN所成的角为θ，
延伸探究　本例中的条件“S为BC的中点”改为“S是线段BC上一点，使得直线SN与平面CMN所成角的正弦值为 ”，其他条件不变，求SN的长.
由本例(1)知，B(2,0,0)，C(0,1,0)，
又平面CMN的一个法向量a＝(2,1，－2)，设SN与平面CMN所成的角为θ，
得4x2＋8x－5＝0，
反思感悟
利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)设线面角为θ，则sin θ＝ .(5)回归原题目，写出结论.
　　　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.
以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
令a＝1，得n＝(1，－1,2).设A1B与平面AEF所成的角为θ，
课堂小结
1.知识清单： (1)两条直线所成的角. (2)直线与平面所成的角.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围.
随堂演练

1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为
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√
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2.若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为
√
平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，
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3.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝2，则异面直线AC1与BD所成角的余弦值为
√
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如图，建立空间直角坐标系，
设异面直线AC1与BD所成的角为θ，
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4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_____.
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设正方体的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
课时对点练

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1.两条异面直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则A.α＝θ B.α＝π－θC.cos θ＝|cos α| D.cos α＝|cos θ|
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2.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为A.30° B.45° C.60° D.90°
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所以〈a，b〉＝60°.
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4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
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如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
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5.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和直线BC1所成的角为
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如图所示，建立空间直角坐标系.由于AB＝BC＝AA1，不妨取AB＝2，则B(0,0,0)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2).
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由已知DP，DA，DC两两垂直，所以以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设PD＝a(a>0)，则P(0,0，a)，A(2,0,0)，连接BD，取BD的中点F，连接EF，所以EF∥PD，EF⊥平面ABCD，
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解得a＝2.
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7.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，若异面直线EF与BD所成的角为α，则cos α＝________.
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设正方形ABCD的边长为2，由题意得AB，AD，AP两两垂直.以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，F(1,2,0)，
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8.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的余弦值等于________.
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以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.
设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，
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令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
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取BD的中点O，连接OA，OC.由题意知OA，OC，BD两两垂直.以O为原点，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
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(1)求证：平面EBD⊥平面PAC；
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在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面PAC.
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(2)若E是PC的中点，求直线ED与平面EBC所成角的正弦值.
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取BC的中点F，连接AF，
所以△ABC为等边三角形，所以AF⊥BC，所以AF⊥AD，如图，建立空间直角坐标系，令AB＝PA＝2，
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设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，
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设直线ED与平面EBC所成角为θ，
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11.如图所示，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4，则异面直线AQ与PB所成角的余弦值为
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由题设知，四边形ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则AC⊥BD.连接PQ，则PQ过点O.由正四棱锥的性质知，PQ⊥平面ABCD，故以O为原点，以CA，DB，QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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12.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为 ，则正四棱柱的高为A.2 B.3C.4 D.5
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以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1＝a(a>0)，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0，a)，C1(0,2，a)，
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
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解得a＝4.
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13.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为____.
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设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，以D为原点，分别以DA，DB，DG所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
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设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，
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14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动(点F与点A不重合)，异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为______.
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以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，设正方体棱长为2，
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设异面直线B1C与EF所成的角为θ，
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15.(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点，D在线段B1C1上，则下面说法中正确的有A.EF∥平面AA1B1BB.若D是B1C1的中点，则BD⊥EF
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由题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,0,2)，C1(0,2,2)，E(1,1,0)，F(0,1,2)，
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
即EF⊥AC，
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又EF⊄平面AA1B1B，所以EF∥平面AA1B1B，故A正确；对于B，若D是B1C1的中点，
所以EF与BD不垂直，故B不正确；
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设直线EF与平面ABC所成角为θ，
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即直线BD与直线EF所成角最小，
16.已知几何体EFG－ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上.
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∵四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，∴GD⊥DA，GD⊥DC.又DA∩DC＝D，∴GD⊥平面ABCD.以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1).∵点M在棱DG上，故可设M(0,0，t)(0≤t≤1).
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(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
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假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得x＝y＝1，∴n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量，
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∵直线MB与平面BEF所成的角为45°，
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∴当点M位于棱DG上，