北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系多媒体教学课件ppt

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第2课时　用向量方法研究立体几何中的度量关系(二)
第三章　4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系
学习目标
1.会用向量法求二面角的大小.
2.能正确区分两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系.
内容索引
二面角

一
问题1　平面与平面的夹角与二面角的平面角有何区别？？
提示　平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
问题2　二面角的平面角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
提示　平面与平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.
知识梳理
1.平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ .
相等
互补
2.一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α－l－β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉_____(如图(1))或_____(如图(2)).
(1)求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角问题.
注意点：
(3)二面角与平面与平面的夹角不是相同的概念.
　　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明：O1O⊥平面ABCD；
因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的平面角的余弦值.
因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面C1OB1的法向量为m＝(x，y，z)，
延伸探究　本例条件不变，求二面角B－A1C－D的平面角的余弦值.
设平面BA1C的法向量为m1＝(x1，y1，z1)，
由图可知二面角B－A1C－D的平面角为锐角，
求二面角的平面角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面所成的角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同.(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面所成二面角的平面角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.
反思感悟
　　　如图，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求二面角B－AS－D的平面角的余弦值.
如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，
设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，
由图可知二面角B－AS－D的平面角为锐角，
与二面角有关的距离问题

二
　　如图所示，在120°的二面角α－l－β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，则线段CD的长为____.
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因为AC⊥AB，BD⊥AB，
又因为二面角α－l－β的平面角为120°，
所以CD＝12.
反思感悟
求解与二面角有关的距离问题，涉及到的两直线的方向向量所成的角是二面角的平面角或其补角，要结合实际图形确定对应的向量所成的角.
　　　如图所示，在▱ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将△ACD沿对角线AC折起，使得AB与CD成60°角，则折起后BD的长为________.
因为∠ACD＝90°，
又AB与CD成60°角，
课堂小结
1.知识清单： (1)平面与平面的夹角与二面角. (2)与二面角有关的距离问题.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：对二面角的平面角与两平面的法向量所成角的关系认识不到位而致误.
随堂演练

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3.在一平面直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(2，－6)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为
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在平面直角坐标系中已知A(－1,6)，B(2，－6)，沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，作AC⊥x轴，交x轴于C点，作BD⊥x轴，交x轴于D点，
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4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角的大小是_____.
45°
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以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
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故平面ADE与平面BCE的夹角为45°.
课时对点练

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1.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成二面角的平面角为
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2.已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝－ ，则β与α所成二面角的平面角为A.30° B.60°或120°C.120° D.150°
√
设α与β所成二面角的平面角为θ，
又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°或120°.
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3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为
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以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
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∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
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4.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝ ，则该二面角的平面角的大小为A.30° B.45° C.60° D.90°
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5.如图所示，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C－BF－D的平面角的正切值为
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如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设PA＝AD＝AC＝1，
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设平面CBF的法向量为n＝(x，y，z)，
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由图可知二面角C－BF－D的平面角为锐角，
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如图，过点B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，
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因为a，b分别是平面α，β的法向量，
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8.在空间中，已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
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平面xOy的一个法向量为n＝(0,0,1).设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，
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(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
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如图，在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.
因为AB＝AD＝2，
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(2)求二面角A－A1D－B的平面角的正弦值.
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设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，
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设二面角A－A1D－B的平面角的大小为θ，
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10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1.
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因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1).设C(1，y,0)，
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解得y＝2或y＝0(舍去)，所以C(1,2,0)，所以BC的长为2.
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(2)求二面角B－PD－A的平面角的余弦值.
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设平面PBD的一个法向量为n1＝(x，y，z).
令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1,1,1).因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1,0,0)，
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11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为AA1上一点.若二面角B1－DC－C1的平面角的大小为60°，则AD的长为
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如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设平面CDB1的法向量为m＝(x，y，z)，
令y＝1，得平面CDB1的一个法向量为m＝(t,1，－1)，
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12.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的投影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为A.45° B.90° C.135° D.150°
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13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DD1的中点，则二面角E－BC1－C的平面角的正弦值为_____.
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以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则E(1,0,0)，F(0,0,1)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，
设平面EC1B的法向量n＝(x，y，z)，
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平面BCC1的法向量m＝(0,1,0)，设二面角E－BC1－C的平面角为θ，由题图可知θ为锐角，
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如图所示，过点E作EH⊥BD，交BD于H点，
设BE与CF的夹角为θ，
记二面角A－BD－C的大小为α，
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设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，得n＝(1,1,2)，
16.如图，已知矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，P是半圆弧CD上异于C，D的点.
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(1)证明：平面PAD⊥平面PAC；
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由题意知，平面PCD⊥平面ABCD，交线为CD，因为AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD，故AD⊥PC.又P是半圆弧CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DP⊥PC.又AD∩DP＝D，AD，DP⊂平面PAD，所以PC⊥平面PAD.又PC⊂平面PAC，所以平面PAD⊥平面PAC.
(2)若AB＝2AD＝2，PQ＝tPD(01
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如图所示，建立空间直角坐标系，由等积法知VC－PAD＝VA－PDC
当三棱锥C－PAD的体积最大时，S△PCD最大，
由题意知D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,1,1)，
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因为PQ＝tPD(0设平面QAB的法向量为n＝(x，y，z)，
取n＝(1－t,0,1)，设平面PAB的法向量为m＝(x′，y′，z′)，
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因为二面角Q－AB－P的平面角的大小为30°，
整理得t2＋2t－2＝0，