新教材北师大版步步高学习笔记必修一第五章 章末复习课【学案+同步课件】

一、函数的零点与方程的根

1．函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用转化思想、数形结合思想，把零点问题转化成函数图象与x轴的交点以及两函数图象的交点问题．

2．掌握零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养．

例1　(1)函数f(x)＝的零点个数是________．

(2)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

答案　(1)2　(2)(3，＋∞)

解析　(1)①当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－2＝0，解得x＝或x＝－.因为x≤0，

所以x＝－.

②方法一　(函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x.

而f(1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)·f(3)<0，

又函数f(x)的图象是连续的，故由零点存在定理，可得函数f(x)在(1,3)内至少有一个零点．函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)内有且只有1个零点．综上，函数f(x)共有2个零点．

方法二　(数形结合法)当x>0时，由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0，即ln x＝6－2x.

如图，分别作出函数y＝ln x和y＝6－2x的图象．

显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解．

综上，函数f(x)共有2个零点．

(2)如图，分别作出函数y＝f(x)和y＝b的图象．

当x≤m时，f(x)＝|x|.

当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，

且在(m，＋∞)上单调递增．

若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，

则m2－2m·m＋4m<|m|.

因为m>0，所以m2－3m>0，解得m>3.

反思感悟　函数的零点与方程的根的关系及应用

(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．

跟踪训练1　(1)方程|x|－＝0(a>0)的根有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．至少1个

答案　A

解析　|x|－＝0(a>0)等价于|x|＝(a>0)，

令f(x)＝|x|，g(x)＝(a>0)，作出两函数的图象，如图所示．

可以看出只有一个交点．

(2) 已知函数f(x)＝x－log2x，实数x0是函数y＝f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值(　　)

A．恒为正值   B．等于0

C．恒为负值   D．不大于0

答案　A

解析　因为函数y＝x在定义域上是减函数，y＝log2x在定义域上是增函数，

所以函数f(x)＝x－log2x在定义域上是减函数，

因为0<x1<x0，所以f(x1)>f(x0)＝0.

二、用二分法求函数的零点或方程的近似解

1．二分法主要是利用函数零点存在定理，每次把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，达到精确度后，求得函数的零点或方程近似解的方法，其求解过程体现了数学中的分割逼近思想．

2．掌握二分法求零点的数学逼近思想，提升逻辑推理和数学运算素养．

例2　证明方程2x－x2＝0在区间(－1,0)内有且只有一解，并求该方程的近似解，精确度为0.1.

解　令f(x)＝2x－x2，

因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－0.5<0，

f(0)＝1>0，且函数f(x)＝2x－x2在(－1,0)内的图象是连续的递增曲线，所以它在区间(－1,0)内有且只有一个零点．用二分法逐步计算，列表如下：

至此，我们得到区间[－0.812 5，－0.75]的区间长度为0.062 5<0.1，因此，我们可以选取－0.81作为方程2x－x2＝0的一个近似解．

反思感悟　求方程的近似解的步骤

(1)构造函数，利用函数图象或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z内．

(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.

(3)写出方程的近似解．

跟踪训练2　用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上的近似解，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．

答案　

解析　令f(x)＝ln x－2＋x，取区间[1,2]的中点.

f ＝ln －2＋＝ln －<0，

f(1)＝ln 1－2＋1＝－1<0，

f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0，

所以f(2)·f <0.

所以下一个含根的区间是.

三、函数模型的应用

1．函数模型包括一次函数、二次函数、反比例函数、分段函数、指数函数、对数函数以及幂函数等函数模型，在借助上述模型解决实际问题时，应先根据数据的变化特征，选取合适的函数模型去拟合数据，并利用该模型对实际问题作出预测．

2．在数学建模过程中提升数据分析、直观想象和数学运算素养．

例3　某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式近似地表示为y＝－30x＋4 000.

(1)当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；

(2)若每吨的平均出厂价为16万元，当年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．

解　(1)设每吨的平均成本为S万元，

由题意可知，S＝.

即S＝＝＋－30

＝－30，x∈(150,250)，

∵该函数在区间(150,200]上单调递减，在区间(200,250)上单调递增，

∴当x＝200时，函数有最小值，

且Smin＝×－30＝10，

∴当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元．

(2)设可获得总利润为Q万元，

则Q＝16x－y＝16x－＋30x－4 000

＝－(x－230)2＋1 290，x∈(150,250)，

当x＝230时，Q最大，Qmax＝1 290，

故当年产量为230吨时，可获得最大利润，最大利润为1 290万元．

反思感悟　建模的三个原则

(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．

(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果．

(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题．

跟踪训练3　某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示．

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

解　由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，

设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，

在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)桶．

令520－40x>0，则0<x<13.

y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200

＝－40(x－6.5)2＋1 490,0<x<13.

易知，当x＝6.5时，y有最大值．

所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润．