北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质教案配套课件ppt

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4.2　简单幂函数的图象和性质
第二章　§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
学习目标
1.了解幂函数的概念.
3.能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.
导语
同学们，我们今天要学习幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.
内容索引
幂函数的概念

一
问题1　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝ ，这里c是S的函数；(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数.
提示　这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.
知识梳理
幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是_______、指数是______的函数称为幂函数.
自变量
常数
(1)自变量前的系数是1.(2)幂的系数为1.(3)α是任意常数.(4)函数的定义域与α有关.
注意点：
　　 (1)(多选)下列函数，其中是幂函数的有A.y＝x3 B.y＝4x2C.y＝(x－1)2 D.y＝ (x≥0)
√
√
B，C项不符合幂函数形式y＝xα.
(2)已知y＝(m2＋2m－2) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数.
反思感悟
由幂函数的定义知k＝1.
√
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于
因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
√
幂函数的图象

二
知识梳理
在同一平面直角坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图.
(1)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.(2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高).
注意点：
　　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，± 四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为
√
设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
所以α＝2，β＝－1，所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示.由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)反思感悟
(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象，当α<0时，图象类似于y＝x－1；当0<α<1时，图象类似于y＝ ；当α>1时，图象类似于y＝x3.②根据幂函数的定义域及奇偶性确定在其他象限内的图象.(2)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低).②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0).
幂函数的性质及应用

三
知识梳理
五个幂函数的性质
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
增
减
增
增
减
减
一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1).(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上，函数单调递增.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸.
注意点：
(3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.(4)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.
注意点：
因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，
(1)比较下列各组中两个数的大小.
因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，
③ 与 .
因为y＝ 在[0，＋∞)上单调递增，
所以 > ＝1，
又y＝ 在[0，＋∞)上是增函数，
所以 < ＝1，
所以 > .
(2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 < 的a的取值范围.
则原不等式可化为 < .
因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N＋，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.
因为y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a反思感悟
利用单调性比较幂值大小应注意(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小.(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.(3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等.(4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想.
∵函数y＝　在(0，＋∞)上单调递增，
　　　(1)比较下列各组中两个数的大小：
① 与 ；
＝ ， ＝ .
② 与 ；
∵函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递减，
∴ < .
∵ > ＝1； < ＝1，
③ 与 .
∴ < .
∴m2＋m＝2，∴m＝1或m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝ .
课堂小结
1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法.3.常见误区： (1)对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数，其他形式都 不是幂函数. (2)易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质.
随堂演练

1.已知函数f(x)＝(a2－a－1) 为幂函数，则a等于A.－1或2 B.－2或1C.－1 D.1
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因为f(x)＝(a2－a－1) 为幂函数，所以a2－a－1＝1，所以a＝2或－1，又a－2≠0，所以a＝－1.
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3.幂函数y＝f(x)经过点(2,4)，则f(x)是A.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C.奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D.非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
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y＝f(x)为幂函数，设f(x)＝xα，因为幂函数y＝f(x)经过点(2,4)，代入可得4＝2α，所以α＝2，则f(x)＝x2，定义域为x∈R，而f(－x)＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数，由二次函数性质可知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.
4.函数y＝x－3在区间[2,4]上的最小值是_____.
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因为函数y＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，
5.若幂函数f(x)＝(m2－m－1) 在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝______.
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由m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3符合要求.当m＝－1时，m2－2m－3＝0不符合要求.故m＝2.
课时对点练

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A.{x|x∈R且x>0} B.{x|x∈R且x<0}C.{x|x∈R且x≠0} D.R
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∴其定义域为{x|x∈R且x>0}.
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∴a＋b＝0.
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3.已知幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图象过点(16,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为A.9 B.12C.27 D.81
√
因为f(m)＝3，所以 ＝3，解得m＝81，即实数m的值为81.
4.下列幂函数的图象过点(0,0)，(1,1)且为偶函数的是A.y＝ B.y＝x2C.y＝x－1 D.y＝x3
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在A中，y＝ 过点(0,0)，(1,1)，是非奇非偶函数，故A错误；
在B中，y＝x2过(0,0)，(1,1)，是偶函数，故B正确；在C中，y＝x－1不过点(0,0)，过点(1,1)，是奇函数，故C错误；在D中，y＝x3过点(0,0)，(1,1)，是奇函数，故D错误.
5.幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则A.－11 D.n<－1，m>1
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由于y＝xm在区间(0，＋∞)上单调递增，且为上凸函数，故01
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6.若 > ，则实数m的取值范围为________.
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(－∞，0)
7.已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是___________.
因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减.故α<0.
8.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为_____.
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由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意.
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若函数f(x)为正比例函数，则
9.已知函数f(x)＝(m2＋2m)· ，m为何值时，函数f(x)是(1)正比例函数？
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若函数f(x)为反比例函数，则
(2)反比例函数？
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若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
(3)幂函数？
10.比较下列各组数的大小：(1) 和 ；
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因为函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递减，
又3<3.2，所以 > .
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(2) 和 .
＝ ，因为函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，而5>4，
所以 > ，即 > .
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11.(多选)已知实数a，b满足等式 ＝ ，则下列关系式可能成立的是A.0√
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画出函数y＝ 与y＝ 的图象如图所示，
设 ＝ ＝m，作直线y＝m.从图象知，若m＝0或m＝1，则a＝b；若01，则11
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12.函数y＝ 的图象大致是
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函数y＝ 是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，C，
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A.a＋b>0，ab<0 B.a＋b<0，ab>0C.a＋b<0，ab<0 D.a＋b<0，ab＝0
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由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因此f(x)＝x3，其在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x).结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(01
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14.已知x2> ，则实数x的取值范围是_____________.
{x|x<0或x>1}
分别画出函数y＝x2与y＝ 的图象，如图所示，由于两函数的图象都过点(1,1)，因此由图象可知，不等式x2> 的解集为{x|x<0或x>1}.
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其中正确结论的序号是A.①② B.①③C.②④ D.②③
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所以②③正确.
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∵幂函数f(x)＝ (m∈N＋，且m≥2)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数.
16.已知幂函数f(x)＝ (m∈N＋，且m≥2)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减.(1)求f(x)的解析式；
又m∈N＋，且m≥2，∴m＝2.∴f(x)＝x－1.
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(2)比较f(－2 023)与f(－2)的大小.
由(1)易知，f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内单调递减，∴f(－2 023)＝－f(2 023)，f(－2)＝－f(2)，且f(2 023)f(－2).