新教材北师大版步步高学习笔记必修一第一章 章末复习课【学案+同步课件】

一、集合的综合运算

1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容．在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．

2．掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例1　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．

(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；

(2)是否存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

解　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，

∴∁RA＝{x|x<0，或x>2}．

∵(∁RA)∪B＝R，

∴∴－1≤a≤0.

∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．

(2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，

－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，

∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．

即这样的a不存在．

反思感悟　借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反．

跟踪训练1　已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.

(1)求A∪B，(∁UA)∩B；

(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．

解　(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}

＝{x|1<x≤8}．

∵∁UA ＝{x|x<2或x>8}，

∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}．

(2)∵A∩C≠∅，作图易知，只要a在8的左边即可，

∴a<8.

∴a的取值范围为{a|a<8}．

二、充分条件、必要条件与充要条件

1．若p⇒q，且q不能推出p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；

若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．

2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养．

例2　设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}．

q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　∵q是p的充分不必要条件，

∴BA，

∴或

解得－≤a<0或a≤－4.

∴a的取值范围为.

反思感悟　在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．

跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x|－4≤x≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“a>5”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，且a>4不能推出a>5，所以“a>5”是“A⊆B”的充分不必要条件．

(2)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A＝(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________．

答案　a≤9　6≤a≤9(答案不唯一)

解析　A＝(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}．

若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6；

若A≠∅，则A⊆B⇔解得6≤a≤9.

综上可知，A＝(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.

三、全称量词命题与存在量词命题

1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．含有量词的命题否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．

2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养．

例3　(1) 命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是(　　)

A．∃x∈R，x2－2x＋1≤0

B．∃x∈R，x2－2x＋1≥0

C．∃x∈R，x2－2x＋1<0

D．∀x∈R，x2－2x＋1<0

答案　C

(2)若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　)

A．m≥1  B．m>1  C．m<1  D．m≤1

答案　B

解析　命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)，∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，

∴m>1.

∴实数m的取值范围是{m|m>1}．

反思感悟　全称量词命题、存在量词命题真假判断

(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可．

(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假．

跟踪训练3　(1)∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 021的否定是(　　)

A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 021

B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 021

C．∀m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 021

D．以上都不对

答案　C

(2)设命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0，若p的否定为真命题，则实数a的取值范围是________．

答案　R

解析　p的否定：∃x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题，显然a∈R.

四、基本不等式及应用

1．基本不等式：≥(a≥0，b≥0)是每年高考的热点，主要考查实数比较大小、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．

2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．

例4　(1)已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值是(　　)

A．2   B．3－2

C．3＋2   D．3＋

答案　C

解析　＋＝(2a＋b)＝3＋＋

≥3＋2＝3＋2.

当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立．

∴＋的最小值是3＋2.

(2)当x>1时，不等式的最小值是________．

答案　6

解析　因为x>1，所以＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号，所以的最小值是6.

反思感悟　(1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系．

(2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的代换．

跟踪训练4　(1)已知x>0，y>0，xy＝4，求＋的最小值；

(2)已知x>0，y>0，x＋2y＝2，求＋的最小值．

解　(1)∵xy＝4，且x>0，y>0，

∴＋≥2＝2＝，

当且仅当x＝2，y＝时取等号，

即＋的最小值为.

(2)∵x>0，y>0，x＋2y＝2，

∴2＝(x＋2y)＝4＋＋

≥4＋2＝8，

∴＋≥4，

当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，

即＋的最小值为4.

五、解一元二次不等式

1．对于不含参数的一元二次不等式首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集．

2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．

3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例5　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．

解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.

当a<0时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；

当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0}；

当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；

当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}；

当a>1时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；

综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；

当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；

当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．

反思感悟　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．

跟踪训练5　若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．

(1)解不等式(a－2)x2－x－t2＋t<0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?

解　(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

∴解得a＝3.

所求不等式可化为x2－x－t2＋t<0，

即(x－t)[x－(1－t)]<0，

令(x－t)[x－(1－t)]＝0，解得x1＝t，x2＝1－t.

∴①当1－t>t，即t<时，不等式的解集为{x|t<x<1－t}；

②当1－t＝t，即t＝时，2<0，不等式解集为∅；

③当1－t<t，即t>时，不等式解集为{x|1－t<x<t}．

综上，当t<时，所求不等式的解集为{x|t<x<1－t}；当t＝时，所求不等式的解集为∅；当t>时，所求不等式的解集为{x|1－t<x<t}．

(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式的解集为R，

则Δ＝b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6.

六、不等式的实际应用

1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题．

2．在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模和数学运算素养．

例6　某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价．

(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

解　(1)依题意得y＝100·100×.

又售价不能低于成本价，

所以100－80≥0，解得x≤2，

所以y＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2)．

(2)20(10－x)(50＋8x)≥10 260，

化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.

又0≤x≤2，

所以x的取值范围为.

反思感悟　认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一．

跟踪训练6　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．

(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式；

(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

解　(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米，由a2x＝4 000，得a＝.

则S＝(a＋8)(ax＋20)

＝a2x＋(8x＋20)a＋160

＝4 000＋(8x＋20)·＋160

＝80＋4 160(x>1)．

(2)80＋4 160

≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2＝，

即x＝2.5时，等号成立，

此时a＝40，ax＝100.

所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．