新教材北师大版步步高学习笔记必修一第七章 章末复习课【学案+同步课件】

一、互斥事件与对立事件

1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．

2．掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养．

例1　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

解　记A表示事件“该车主购买甲种保险”；B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”．

(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，

所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.

(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.

反思感悟　求复杂事件的概率常用的两种方法

(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．

(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．

跟踪训练1　我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩．在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为0.4，利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，我们用0,1,2,3表示滑跳成功，4,5,6,7,8,9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：813,502,659,491,275,937,740,632,845,936.由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为(　　)

A．0.9   B．0.8

C．0.7   D．0.6

答案　B

解析　由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659,845，共2个，

所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为1－＝0.8.

二、古典概型

1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.

2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养．

例2　甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率．

解　(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有样本点为(甲男1，乙男)，(甲男2，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，(甲女，乙男)，共9个；选出的2名教师性别相同的样本点有(甲男1，乙男)，(甲男2，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，共4个，所以选出的2名教师性别相同的概率为.

(2)从报名的6名教师中任选2名，所有样本点为(甲男1，乙男)，(甲男2，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲男1，甲男2)，(甲男1，甲女)，(甲男2，甲女)，(乙男，乙女1)，(乙男，乙女2)，(乙女1，乙女2)，共15个；选出的2名教师来自同一学校的所有样本点为(甲男1，甲男2)，(甲男1，甲女)，(甲男2，甲女)，(乙男，乙女1)，(乙男，乙女2)，(乙女1，乙女2)，共6个，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为＝.

反思感悟　古典概型概率计算问题的关注点

(1)判断：该试验类型是否为古典概型问题．

(2)关键：写出样本空间所包含的样本点及所求事件所包含的样本点．

(3)注意：①弄清“放回”抽取还是“不放回”抽取；

②灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式．

跟踪训练2　某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)

(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．

解　(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，

故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.

(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共含15个样本点．

根据题意这些样本点出现的可能性相等．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有A1B2，A1B3，共2个．

所以其概率为P＝.

三、频率与概率

1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．

2．掌握频率与概率的关系，在具体的问题中会用频率估计概率，进一步提升数据分析与数学运算的核心素养．

例3　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；

(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 

由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为

＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

调查的200名续保人的平均保费为

0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

反思感悟　频率与概率问题的关注点

(1)依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率．

(2)频率的计算公式为频率＝，其中m是事件出现的频数，n为重复试验次数．

跟踪训练3　为了为奥运会做准备，某射击运动员在相同条件下进行射击训练，结果如下表：

(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？

(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？

(3)假设该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？

解　(1)由表可知，击中靶心的频率在0.9附近，故击中靶心的概率大约是0.9.

(2)击中靶心的次数大约是300×0.9＝270.

(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．最后一次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．

四、相互独立事件

1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．

2．掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养．

例4　某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．

(1)求该选手被淘汰的概率；

(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．

解　设“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.

(1)方法一　该选手被淘汰的概率为

P＝P(1∪A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.

方法二　P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)·P(A2)P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.

(2)方法一　所求概率P＝P(A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)·P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.

方法二　所求概率P＝1－P(1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.

反思感悟　利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路

(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．

(2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．

(3)代入概率的积、和公式求解．

跟踪训练4　设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　)

A．0.25   B．0.30

C．0.31   D．0.35

答案　C

解析　设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，所以同一工作日至少3人需使用设备的概率为P(ABC＋ABD＋ACD＋BCD＋ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.4×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＝0.31.