高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 实际问题的函数刻画课文内容课件ppt

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§2　实际问题中的函数模型
第五章　函数应用
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.
2.能自建确定性函数模型解决实际问题.
3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.
导语
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
内容索引
实际问题的函数刻画

一
问题1　你能写出几种函数模型？
提示　
问题2　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？
提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.(4)还原——将数学结论还原为实际问题.
实际问题的函数刻画设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.
知识梳理
世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式.
注意点：
　　18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的天王星与太阳的距离大约是多少？
由数值对应表作散点图如图.由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋c.代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得，
(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，
∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8f(7)＝19.6，∴谷神星大约在离太阳2.8天文单位处.在土星外面的天王星与太阳距离大约是19.6天文单位.
反思感悟
建立模拟函数解应用题的一般步骤(1)作图：根据已知数据作出散点图.(2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状，找出比较接近的函数模型.(3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式.(4)利用所求得的函数模型解决问题.
　　　某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A，B两种商品各多少才最合算.请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
由表可知A种商品符合二次函数模型，B种商品符合一次函数模型.设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a>0)；一次函数的解析式为y＝bx.把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示.经检验，前六个月符合所求函数关系式.把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，
故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示.经检验，前六个月符合所求函数关系式.令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，其中xA＋xB＝12.
即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得最大纯利润为4.1万元.
用函数模型解决实际问题

二
用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型.(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.(3)求模：求解数学模型，得到数学结论.(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.
知识梳理
可将这些步骤用框图表示如下：
(1)注意实际问题中的限制条件.(2)注意解题步骤的规范性和完整性.
注意点：
　　已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
当040时，
(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.
①当0所以Wmax＝－1 600＋7 360＝5 760.综合①②，当年产量为32万只时，年利润最大为6 104万美元.
反思感悟
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”(1)求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.(2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.(3)列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
反思感悟
(4)限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人数是整数，时间是正数等.
　　　某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋ (k为正常数).日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为121百元.(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式；
由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋).
(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(百元)的最小值.
由(2)知Q(x)＝125－|x－25|
所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元.
课堂小结
1.知识清单： (1)实际问题的函数刻画. (2)用函数模型解决实际问题. (3)数据拟合与函数建模的优劣.2.方法归纳：数学建模.3.常见误区：实际问题中一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，最后要将数学问题还原为实际问题.
随堂演练

1.一辆汽车从甲地开往乙地，中途曾停车休息了一段时间，如果用横轴表示时间t，纵轴表示汽车行驶的路程s，那么下面四个图中，较好地反映了s与t的函数关系的是
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易知s随t的增大而增大，因在中途休息了一段时间，故这段时间s不变.
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2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是A.y＝ax＋b B.y＝ax2＋bx＋cC.y＝aex＋b D.y＝aln x＋b
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3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是A.y＝ B.y＝0.957 6100xC.y＝ D.y＝1－
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4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝ x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为____万件.
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当x＝18时，L(x)有最大值.
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5.用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_____m.
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设隔墙的长度为x(0∴当x＝3时，y最大.
课时对点练

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1.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为
由题意可知函数模型为指数型函数，故选D.
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2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的A.y＝log2x B.y＝2xC.y＝x2 D.y＝2x
√
逐个检验可得答案为B.
3.某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x(元/支)在x∈[5,15]时，每天售出该鲜花支数p(x)＝　　，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为A.9元 B.11元C.13元 D.15元
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4.(多选)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中正确的有A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收　入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元
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由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；
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5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2021年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A.2022年 B.2023年C.2024年 D.2025年
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设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，
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即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2025年超过200万元.
6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_________________.
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设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
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7.已知某种动物的繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到______只.
200
由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1).当x＝8时，y＝100log39＝200.
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8.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为____.
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根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，
∴要使年平均利润最大，客车营运年数为5.
9.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N＋)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)的解析式，并指出它们的定义域；
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由题意知，P(x)＝R(x)－C(x)＝3 000x－20x2－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x－4 000，其定义域为{x∈N＋|1≤x≤100}；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x，其定义域为{x∈N＋|1≤x≤99}.
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(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？说明理由.
所以当x＝62或x＝63时，P(x)取得最大值为74 120.因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，所以当x＝1时，MP(x)取得最大值为2 440.所以利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.
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10.根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P(元)与时间t(天)的关系如图所示(折线部分)，日销售量Q(件)与时间t(天)之间的对应关系如表所示.
(1)求出该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式；
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由图象可知，当0≤t≤20时，每件销售价格P与时间t的关系为一次函数.设P＝at＋b，
所以P＝t＋30.当201
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(2)直接写出日销售量Q与时间t的一个函数解析式(函数关系只限于一次函数、二次函数、反比例函数)；
日销售量Q与时间t的一个函数解析式为Q＝－t＋40(0≤t≤30).
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(3)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(注：日销售金额＝每件销售价格×日销售量)
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设日销售金额为y，
当0≤t≤20时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，当t＝5时，ymax＝1 225；当2011.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为A.略有亏损B.略有盈利C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况
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由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.
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12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________.
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∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
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13.某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝______，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为______.
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∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2＝22t.当t＝5时，y＝210＝1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
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14.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为　　平方米，且高度不低于　 米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝_____米.
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15.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1　市场供给表
表2　市场需求表
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根据上面提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在下列哪个区间内A.(2.3,2.4) B.(2.4,2.6)C.(2.6,2.8) D.(2.8,2.9)
√
当供给量与需求量均为70时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡.
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16.某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足图中的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k与a是常数)的图象.(1)写出服药后y关于t的函数关系式；
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当0≤t<1时，y＝8t；
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(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？
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设第一次服药后最迟经过t h第二次服药，依题意有t≥1.
解得t＝5.因此第二次服药最迟应在第一次服药后5 h，即当天上午11：00服药.