新教材北师大版步步高学习笔记必修一第七章 1【学案+同步课件】.4 随机事件的运算

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第七章　§1　随机现象与随机事件
1.4　随机事件的运算
学习目标
1.了解随机事件的交、并的含义，会进行简单的随机事件的运算.
2.理解互斥事件、对立事件的概念，弄清它们的区别与联系.
导语
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.
内容索引
交事件与并事件

一
问题1　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，若事件C＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示　C＝{2}，E1＝{1,2}，E2＝{2,3}，{1,2}∩{2,3}＝{2}，即E1∩E2＝C.
问题2　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，若事件D＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示　D＝{1,2,3}，E1＝{1,2}，E2＝{2,3}.{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，即E1∪E2＝D.
事件的运算
知识梳理
都发生
A∩B
AB
至少有一个
发生
A∪B
A＋B
“事件A与B至少有一个发生”的含义是：(1)事件A发生事件B不发生.(2)事件A不发生事件B发生.(3)事件A和事件B同时发生.
注意点：
　　连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A＝{两次出现的点数相同}，事件B＝{两次出现的点数之和为4}，事件C＝{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D＝{两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件C∩D，A∪B；
由题意得，事件A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，事件B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，事件C＝{(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)}，事件D＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}.C∩D＝{(1,5)，(5,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}.
(2)若事件E＝{(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(5,1)，(6,2)}，则事件E与已知事件是什么运算关系？
E＝B∪C.
反思感悟
事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
　　　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
互斥事件与对立事件

二
问题3　问题1中，若事件C1＝“点数为3”，事件C2＝“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联系吗？
提示　C1＝{3}，C2＝{4}，C1∩C2＝∅.
问题4　若事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联系吗？
提示　F＝{2,4,6}，G＝{1,3,5}.F∪G＝Ω，F∩G＝∅.
互斥事件与对立事件
知识梳理
不能同时发生
∅
Ω
对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是对立事件，则事件A与事件B互斥，且A∪B是必然事件.
注意点：
　　(多选)2020年1月26日，阿里安全官方微博账号发布消息，根据网友反映口罩质量问题的店铺已进行了调查和处理，并公布了7家问题口罩商家名称.当日晚间，某市质检部门迅速对某商家进行了突击检查.假如工作人员从刚生产的一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是A.A与B互斥 B.A与C互斥C.A与B对立 D.B与C对立
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A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品，3个事件，由此知，A与B是互斥事件，但不对立；A与C的交事件不是∅，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件.
反思感悟
互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念来判断①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即A＝∁ΩB或B＝∁ΩA.
　　　一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的序号为_____.①A与B是互斥而非对立事件；②A与B是对立事件；③B与C是互斥而非对立事件；④B与C是对立事件.
④
一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，所得到的样本点有6个：1,2,3,4,5,6.事件A包含的样本点有1,3,5；事件B包含的样本点有1,2,3；事件C包含的样本点有4,5,6.所以B与C是对立事件.
事件运算的综合问题

三
　　抛掷编号为1,2的两枚骰子，记“1号骰子出现2点”为事件A，“2号骰子出现3点”为事件B，判断下列各题中的两个事件是否为互斥事件，为什么？(1)事件A与事件AB；
由题意得，事件A＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)}，事件B＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}.事件AB＝{(2,3)}，所以A∩(AB)＝{(2,3)}≠∅，所以事件A与事件AB不是互斥事件.
反思感悟
事件运算应注意的两个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较复杂的判断事件之间互斥关系的题目中，要严格按照定义来推理.
　　　投掷一枚均匀的硬币，连续投掷3次.Ai表示第i次正面朝上，试用文字叙述下列事件：(1)A1∪A2；
A1∪A2表示第1次和第2次投掷硬币至少有1次正面朝上.
(2)A1∪A2∪A3；
A1∪A2∪A3表示3次投掷硬币中至少有1次正面朝上.
(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.
3次投掷硬币中至少有2次正面朝上.
课堂小结
1.知识清单：　　　 (1)交事件与并事件. (2)互斥事件与对立事件.2.方法归纳：列举法、Venn图法.3.常见误区：未弄清事件之间的关系，导致互斥、对立事件判断错误.
随堂演练

1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则A.A∩B＝AB.A∪B＝BC.A与B互斥D.A与B互为对立事件
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由互斥事件的定义可知，C正确.
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2.抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A＝{两枚硬币都正面向上}，B＝{两枚硬币中有一枚正面向上}，则事件A∪B为A.两枚硬币都正面向上B.两枚硬币中有一枚反面向上C.至少一枚硬币正面向上D.至少一枚硬币反面向上
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3.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是A.对立事件 B.不可能事件C.互斥事件 D.以上答案都不对
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“甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件.
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4.抛掷一枚骰子，根据向上的点数可以定义下列事件，事件A＝{出现3点}，事件B＝{出现3点或6点}，事件C＝{出现的点数是奇数}，事件D＝{出现的点数大于3}，则C∩D＝___________，A∪B＝_______________________.
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{出现5点}
{出现3点或6点}
(或B)
因为事件C＝{出现1点或3点或5点}，事件D＝{出现4点或5点或6点}，所以C∩D＝{出现5点}.A∪B＝{出现3点或6点}(或A∪B＝B).
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5.打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为__________________________.
因为A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”是击中一次A1，击中二次A2和击中三次A3这三个事件的并事件，应表示为A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3).
A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)
课时对点练

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1.掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则A.A∪B＝ΩB.A∩B＝{出现的点数为2}C.事件A与B是互斥事件D.事件A与B是对立事件
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由题意得，事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}，其它选项不正确.
2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
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至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.
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3.(多选)下列各组事件中是互斥事件的是A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
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对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D，检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件.
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4.设M，N，P是三个事件，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为
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5.从装有10个红球和10个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是A.至少有一个红球；至少有一个白球B.恰有一个红球；都是白球C.至少有一个红球；都是白球D.至多有一个红球；都是红球
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对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.
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6.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______________}.
E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}，F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5}，∴E∩F＝{向上的点数为2}.
向上的点数为2
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7.设某随机试验的样本空间Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,4,5}，C＝{5,6,7}.则(1)A∪B＝___________；(2)　∩B＝_____；(3)A∩(B∩C)＝_____.
{2,3,4,5}
{5}
∅
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8.把红、黑、蓝、白四张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是______________.
互斥但不对立
因为红牌只有1张，甲、乙不能同时得到红牌，所以两事件为互斥事件，但甲、乙可能都得不到红牌，即两事件有可能都不发生，故两事件互斥但不对立.
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9.抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有1次正面向上}，事件B＝{1次正面向上，2次反面向上}，事件C＝{2次正面向上，1次反面向上}，事件D＝{至少1次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
B⊆A，C⊆A，E⊆A，且A＝B∪C∪E.
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(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.
A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C.
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10.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.
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(2)至少有1名男生与全是男生；
因为“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.
(3)至少有1名男生与全是女生；
因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
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(4)至少有1名男生与至少有1名女生.
由于选出的是1名男生1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.
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12.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为A.一个是5点，另一个是6点B.一个是5点，另一个是4点C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点
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同时抛掷两枚均匀的骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.
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14.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________________________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
(BC)∪(BD)或
B∩(C∪D)
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15.设A，B为两事件，则(A∪B) 　　　 表示A.必然事件 B.不可能事件C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生
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16.某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”.(1)事件A1含有多少个样本点？
用1,2,3,4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(1,4，a)，(1,4，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(2,4，a)，(2,4，b)，(3,4，a)，(3,4，b)}，共含12个样本点.
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(2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？
事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2.
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(3)判断事件A2与事件　 ∪A0是什么关系？
因为A2与A0∪A1是对立事件，