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数学必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.3 对数函数y=loga x的图像和性质课文课件ppt
展开第四章 3.3 对数函数y=logax的图象和性质
第2课时 对数函数y=logax的图象和性质的 综合问题
学习目标
1.掌握对数型复合函数的单调性、最值、值域.
2.了解对数函数的综合应用.
导语
这节课我们所探讨的是与对数函数有关的复合函数,主要是对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数,以及求这些新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题,并通过换元的方法,把复杂的复合函数转化成简单的初等函数.
内容索引
对数型复合函数的单调性
一
(1)讨论函数f(x)=loga(3x2-2x-1)的单调性.
①当a>1时,若x>1,则u=3x2-2x-1为增函数,∴f(x)=loga(3x2-2x-1)为增函数;
∴f(x)=loga(3x2-2x-1)为减函数,②当01,则f(x)=loga(3x2-2x-1)为减函数;
①判断函数的奇偶性;
要使函数有意义,
解得x>1或x<-1.所以此函数的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞).所以函数的定义域关于原点对称.
所以f(x)为奇函数.
②求函数的单调区间.
设x1,x2∈(1,+∞),且x1
反思感悟
(1)求形如y=logaf(x)的函数的单调区间的步骤①求出函数的定义域.②研究函数t=f(x)和函数y=logat在定义域上的单调性.③依据“同增异减”原则,求函数y=logaf(x)的单调区间.(ⅰ)当a>1时,y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性一致.(ⅱ)当0 已知y=loga(2-ax)在[0,1]上单调递减,求a的取值范围.
令u=2-ax,则y=logau.因为a>0,所以u=2-ax单调递减,由题意知y=logau在[2-a,2]内单调递减,所以a>1.又u=2-ax在x∈[0,1]上恒大于0,所以2-a>0,即a<2.综上,1对数型复合函数的值域
二
求函数y= +5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
所以当t=-2,即x=4时,此函数取得最大值,最大值为10;当t=-1,即x=2时,
反思感悟
对数型复合函数的值域的求解技巧(1)形如y=loga f(x)的值域,常用换元法,令t=f(x),根据对数函数y=logat的单调性及真数的取值范围求解.(2)形如y=f(logax)的值域,常用换元法,结合其它函数的性质求解.常见的有二次函数形式如y=a·[f(logax)]2+bf(logax)+c.(3)单调性法:根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域.
求函数y=log2(3+2x-x2)的定义域和值域.
由3+2x-x2>0,得x2-2x-3<0,∴-1
三
溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
所以随着[H+]的增大,pH值减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸碱度就越小.
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的pH.
当[H+]=10-7时,pH=-lg 10-7=7,所以纯净水的pH是7.
反思感悟
对数函数的单调性及反比例函数的单调性,解释了实际生活中的现象.
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v= ,单位是m/s,其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是多少?
令Q=2 700,
所以所求鲑鱼的游速是1.5 m/s.
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
所以Q=100.所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位.
课堂小结
1.知识清单:求简单对数型复合函数的单调性、值域及最值问题.2.方法归纳:换元法、分类讨论法.3.常见误区:求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.
随堂演练
1.函数f(x)=log2(3x+1),x∈(0,+∞)的值域为A.(0,+∞) B.[0,+∞)C.(1,+∞) D.[1,+∞)
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根据题意,对数的底数大于1,对数函数单调递增,当x∈(0,+∞)时,3x>0,可得3x+1>1,那么函数f(x)=log2(3x+1)>log21=0,即log2(3x+1)>0,故可知函数的值域为(0,+∞).
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2.函数f(x)=lg|x|为A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
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已知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),所以它是偶函数.当x>0时,|x|=x,即函数y=lg|x|在区间(0,+∞)上单调递增.又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=lg|x|在区间(-∞,0)上单调递减.
3.(多选)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是A.f(4)=-3B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点C.函数y=f(x)的最小值为-4D.函数y=f(x)的最大值为4
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∵f(x)=(log2x)2-log2x2-3=(log2x)2-2log2x-3,∴f(4)=(log24)2-2log24-3=22-2×2-3=-3,故A正确.令f(x)=0得log2x=-1或log2x=3,
∴函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点,故B正确.令log2x=t,则y=t2-2t-3=(t-1)2-4(t∈R),此函数有最小值-4,无最大值.D错误.
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4.函数y= 的单调递增区间为___________.
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5.函数y= 的最大值为____,单调递增区间是__________.
-1
(-∞,0)
函数y=x2+2在(-∞,0)上单调递减,
课时对点练
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1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为A.[0,1] B.(0,1)C.(-∞,1] D.[1,+∞)
√
由于0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,∴log21≤log2(x+1)≤log22,即0≤log2(x+1)≤1,故函数f(x)的值域为[0,1].
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3.设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数,那么a的值为
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方法一 ∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),即lg(10-1+1)-a=lg(10+1)+a,
方法二 ∵f(x)为偶函数,∴对任意的实数x都有f(-x)=f(x),即lg(10-x+1)-ax=lg(10x+1)+ax,整理得,lg(10-x+1)-lg(10x+1)=2ax⇔lg10-x=2ax
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⇔102ax=10-x, ①如果①式对任意的实数x恒成立,则2a=-1,
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4.(多选)若函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则a,b的值可能是
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令t=|x-b|,该函数在(-∞,b)上单调递减,要使函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则外层函数y=logat是定义域内的减函数,则01
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5.北京时间2021年10月16日0时23分,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射,约582秒后,神舟十三号载人飞船与火箭成功分离,进入预定轨道,顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空,发射取得圆满成功.据测算:在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭的质量(除燃料外)m(单位:kg)的函数关系是v= .
√
当火箭的最大速度达到11.5 km/s时,燃料质量与火箭质量之比约为(参考数据:e5.75≈314)A.314 B.313 C.312 D.311
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7.已知函数f(x)=log2 为奇函数,则实数a的值为____ .
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由奇函数得f(x)=-f(-x),
因为a≠-1,所以a=1.
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8.已知函数f(x)= 的值域为R,则m的取值范围为___________.
(-∞,-4]
则y=lg t.∵函数的值域为R,∴t可取(0,+∞)上的每一个正数,∴4+m≤0,∴m≤-4.
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=(log2x-log22)(log2x-log24)=(log2x-1)(log2x-2).
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∴f(x)max=g(3)=2,
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10.已知f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a>0且a≠1).(1)求f(x)+g(x)的定义域;
∴-1
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(2)判断f(x)+g(x)的奇偶性并说明理由;
f(x)+g(x)为偶函数,设F(x)=f(x)+g(x),则F(-x)=loga(-x+1)+loga(1+x)=F(x),又F(x)的定义域为(-1,1)关于原点对称,∴f(x)+g(x)为偶函数.
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(3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的集合.
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由f(x)+g(x)<0得loga(x+1)+loga(1-x)<0,
综上所述,当a>1时,使f(x)+g(x)<0成立的x的集合为(-1,0)∪(0,1);当011.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为
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12.生物体死亡后,它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率),P与死亡年数t之间的函数关系式为P= (其中a为常数),大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%,则可推断该文物属于(参考数据:log20.79≈-0.34)参考时间轴:
A.战国 B.汉 C.唐 D.宋
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所以2 022-1 948.2=73.8∈(-202,220),所以可推断该文物属于汉.
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∴f(x)为奇函数,
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14.若函数f(x)=logax(其中a为常数,且a>0,a≠1)满足f(2)>f(3),则f(2x-1)
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∵f(2)>f(3),∴f(x)=logax是减函数,
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15.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是A.0
令t=x2-2kx+k,由y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,得函数t=x2-2kx+k的图象一定恒与x轴有交点,所以Δ=4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.
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16.已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
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∵f(x)=2+log3x,∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3,∵函数f(x)的定义域为[1,9],
∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,∴6≤(log3x+3)2-3≤13,∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.
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