数学选择性必修 第一册1.2 空间两点间的距离公式教课内容课件ppt

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1.掌握两点间的距离公式.
2.会利用两点间的距离公式解决一些相关的问题.
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
问题1　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
提示　|AB|＝|xB－xA|.
问题2　已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？
提示　(1)当AB与x轴平行时，|AB|＝|x2－x1|；(2)当AB与y轴平行时，|AB|＝|y2－y1|；(3)当AB与坐标轴不平行时，如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，
点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 .
(1)此公式与两点的先后顺序无关.
　　(1)在数轴上有两点A，B，点A(－1)，|AB|＝6，那么AB的中点C的坐标为A.2 B.－4C.3或－3 D.2或－4
设B(x1)，C(x0)，∵|AB|＝|x1－(－1)|＝|x1＋1|＝6，∴x1＝5或x1＝－7，又C(x0)为AB的中点，
(2)已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形.
计算两点间的距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.
　　　(1)在数轴上从点A(－2)引一线段到点B(1)，再同向延长同样的长度到点C，则点C的坐标为A.13 　　　B.0　　　 C.4 　　　D.－2
如图所示，故C(4)为所求.
由两点间的距离求参数的值
　　若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为__________________.
(2,10)或(－10,10)
由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM，±10).由两点间距离公式，
解得xM＝－10或xM＝2，所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10).
延伸探究　将本例中“点M到x轴”改为“点M到y轴”，其他条件不变，求点M的坐标.
由点M到y轴的距离等于10可知，其横坐标为±10.设点M的坐标为(±10，yM)，
解得yM＝－6或10.所以点M的坐标为(－10，－6)或(－10,10).
根据两点间的距离公式得到所求参数的方程，注意含有根号需要平方，方能求解.
　　　已知A(a,3)，B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值.
即(a－3)2＋(3a)2＝25，展开得a2－6a＋9＋9a2＝25，即10a2－6a－16＝0，即5a2－3a－8＝0，
由两点间的距离求直线方程
　　已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝kx＋1上的两点，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，求直线l的方程.
由题意可知y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，∴y1－y2＝k(x1－x2)，∵|x2－x1|＝3，∴(x2－x1)2＝9，∴(y2－y1)2＝k2(x1－x2)2＝9k2，
从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法可以优化解题过程.这些解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能.另外，灵活运用图形的几何性质，如对称、线段垂直平分线的性质等，同样是很重要的.
　　　已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程.
设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.①由已知及两点间的距离公式，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25.②
又点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l上，因此直线l的斜率为0或不存在.因为直线l过点P(3,1)，所以直线l的方程为y＝1或x＝3.
1.知识清单：两点间的距离公式.2.方法归纳：待定系数法、坐标法.3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解.
∵P(1,1)，Q(5,5)，
3.到点A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0
设P(x，y)，因为点P到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等，则|PA|＝|PB|
化简整理得3x＋y＋4＝0.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(4,3)，B(5,2)，C(1，0)，平面内的点P满足|PA|＝|PB|＝|PC|，则点P的坐标为______.
设点P的坐标为(x，y)，
因此，点P的坐标为(3,1).
1.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为A.10 　　　B.5　　　 C.8 　　　D.6
设A(a,0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)，
2.(多选)对于　　　　　，下列说法正确的是A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离B.可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离C.可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离D.可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离
可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项BCD正确.
4.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是
5.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为
6.已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是
∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
7.过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则|AB|＝______.
因为过点A(a,4)和点B(b,2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，
8.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则点Q的坐标为_____________.
设Q(x0,0)，则有
(10,0)或(0,0)
即点Q的坐标为(10,0)或(0,0).
9.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为　 ，求a的值.
由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，
10.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意.综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
11.以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.以上都不是
∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形.
13.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于　 的点的坐标是A.(－4,5) B.(－1,2)C.(－3,4) D.(4,5)
设所求点的坐标为(x0，y0)，
14.已知点M(4,3)，过原点的直线l与直线y＝3交于点A，若|AM|＝2，则直线l的方程为______________________.
x－2y＝0或3x－2y＝0
设点A的坐标为(t,3)，
解得t＝2或t＝6.当t＝2时，点A的坐标为(2,3)，
当t＝6时，点A的坐标为(6,3)，
综上所述，直线l的方程为x－2y＝0或3x－2y＝0.
15.在平面直角坐标系内有四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1，5)，D(－2,2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为
依题意可知，四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)构成一个四边形ABCD，因为|PA|＋|PC|≥|AC|，当且仅当P在对角线AC上时取得等号，因为|PB|＋|PD|≥|BD|，当且仅当P在对角线BD上时取得等号，所以|PA|＋|PC|＋|PB|＋|PD|≥|AC|＋|BD|
当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号.
16.已知AO是△ABC的边BC的中线，用坐标法证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)