高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.4 两条直线的平行与垂直教课ppt课件

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1.理解并掌握两条直线垂直的条件.
2.会用条件判定两条直线是否垂直.
3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应的几何问题.
在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关，那么怎样通过直线的斜率来判断两条直线垂直的位置关系呢？
问题　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
提示　k1·k2＝－1.
1.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔________________.2.当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
　　判断下列两条直线是否垂直，并说明理由：　　
∴k1k2＝－1，则l1⊥l2.
(2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5；
∴k1k2＝－1，则l1⊥l2.方法二　由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(4,3)，n2＝(3，－4).因为n1·n2＝0，∴l1⊥l2.
(3)l1：y＝2 021，l2：x＝2 022.
l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2.
判断两条直线是否垂直的方法(1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.(2)若两直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直.
　　　(多选)下列各对直线互相垂直的是A.l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5)
D.l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3)
A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；
求与已知直线垂直的直线
　　求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
方法一　设直线l的斜率为k，∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，
又∵直线l经过点A(2,1)，
方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
　　　求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程.
由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0，
又∵△AOB的周长为10，即|OA|＋|OB|＋|AB|＝10，
解得b＝±10.故所求直线的方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0.
　　(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为_____.
∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，∴n－(n－2)m＝0，∴2m＋n＝mn，
当且仅当m＝n＝3时取等号.
(2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为___________.
由题意，可知两直线平行或垂直，
解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点(1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系.(2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
　　　(1)过点A　　 ，B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于A.－3 B.3C.－6 D.6
(2)直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是A.－4 　　　B.2 　　　 C.－2　　　 D.4
∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，∴(a＋3)＋a－1＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，∴直线l1在x轴上的截距是－2.
1.知识清单：两直线垂直的条件.2.方法归纳：分类讨论、数形结合.3.常见误区：研究两直线垂直时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.
1.已知平面内有A(7,0)，B(3,2)，C(4,4)三点，则A.△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°B.△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°C.△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°D.△ABC不是直角三角形
∴kAB·kBC＝－1，∴∠ABC＝90°，故选B.
2.过点(1,0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0
过点(1,0)且与直线x－2y＝0垂直的直线的斜率为－2，则根据点斜式可得直线的方程为y－0＝－2×(x－1)，整理得2x＋y－2＝0.
3.已知直线l1：mx＋3y＝2－m，l2：x＋(m＋2)y＝1.若l1⊥l2，则实数m＝________.
因为l1⊥l2，所以m×1＋3(m＋2)＝0，
4.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2)，B(1，－2)，C(－2,4)，则BC边上的高所在直线的斜率k为_____.
BC边上的高所在的直线与BC边所在的直线垂直，
1.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，　)，B(－2,2 　)，则直线l1，l2的位置关系是A.平行或重合 B.平行C.垂直 D.重合
所以k1k2＝－1，即直线l1，l2的位置关系是垂直.
2.(多选)如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率可能为
当a＝0时，由l1⊥l2，得l2的斜率不存在.
3.过点A(3,4)且与直线l：x－2y－1＝0垂直的直线的方程是A.2x＋y－10＝0 B.x＋2y－11＝0C.x－2y＋5＝0 D.x－2y－5＝0
设经过点A(3,4)且垂直于直线x－2y－1＝0的直线的一般式方程为2x＋y＋m＝0，把点A的坐标代入可得6＋4＋m＝0，解得m＝－10，所求直线方程为2x＋y－10＝0.
4.若直线l1的斜率k1＝ ，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为A.1 　　 B.3 　　C.0或1 　　D.1或3
因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，
5.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是A.24　　　 B.20 　　　 C.0 　　　D.－4
∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，
又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0，得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0，得n＝－12，∴m－n＋p＝20.
6.A，B两点的坐标分别为(3,1)和(1,3)，则线段AB的垂直平分线的方程为A.x－y＝0 B.x＋y－4＝0C.x＋y＝0 D.x－y＋4＝0
即x＋y－4＝0，设直线AB的垂线为x－y＋D＝0，线段AB的中点坐标为(2,2)，将中点坐标代入方程可得2－2＋D＝0，则D＝0，∴x－y＝0，∴线段AB的垂直平分线的方程为x－y＝0.
7.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝_____，若l1∥l2，则m＝_____.
直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，
若l1∥l2，则k1＝k2，所以Δ＝16－8m＝0，解得m＝2.
8.已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是_____________.
(1,0)或(2,0)
以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，
所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0).
9.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；
由两直线平行的充要条件，
故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.
(2)当l1⊥l2时，求实数a的值.
由两直线垂直的充要条件，得a＋2(a－1)＝0，
10.如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0).(1)求直线CD的方程；
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，设直线CD的方程为2x－y＋m＝0(m≠－2)，将点C(2,0)代入上式得m＝－4，所以直线CD的方程为2x－y－4＝0.
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程.
方法一　设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0，将点C(2,0)代入上式得n＝－2.所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0.方法二　设直线CE的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，其法向量为n1＝(k，－1).又直线AB的方程为2x－y－2＝0，其法向量为n2＝(2，－1).因为CE⊥AB，所以n1·n2＝0，
11.已知直线l1：xsin α＋2y－1＝0，直线l2：x－ycs α＋3＝0，若l1⊥l2，则tan 2α等于
因为l1⊥l2，所以sin α－2cs α＝0，所以tan α＝2，
12.在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，且直线ax＋ycs A－cs B＝0与xcs B－by＋cs A＝0垂直，则△ABC一定是A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
当cs A＝0，cs B＝0时，两直线方程为x＝0，y＝0，相互垂直，因为角A，B，C是△ABC的内角，所以cs A与cs B不可能同时为0，故排除这种情况；因为直线ax＋ycs A－cs B＝0与xcs B－by＋cs A＝0垂直，所以acs B－bcs A＝0，即sin Acs B－cs Asin B＝0，sin(A－B)＝0，A＝B，故△ABC一定是等腰三角形.
13.直线l1过点(2m,1)，(－3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，－2)，若l1与l2垂直，则实数m＝______.
①当m＝1时，k1＝0，k2不存在，l1与l2垂直；
∴m＝－1.综上可知，实数m＝±1.
14.直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A(a,0)(其中a∈R)和B(0,1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l：y＝x＋1，则a的值为____.
根据题意可知机器人在线段AB的中垂线上运动，且轨迹与直线l：y＝x＋1平行，由此可得AB⊥l，即kAB·kl＝－1，
15.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________.
如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
16.已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0).(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0,1).