北师大版 (2019)选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量课堂教学课件ppt

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1.能用向量语言表述直线.
2.理解直线的方向向量，并会求直线的方向向量.
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形结
构，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢？
问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
问题2　在空间中，怎样可以确定一条直线？
提示　两点可以确定一条直线；由直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线.
2.已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得 ＝___.反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示.
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
　　在三棱锥P－ABC中，E，O，G分别为PA，AC，OC的中点.过点G求作直线EO的一个方向向量.
如图所示，取PE的中点H，连接HG，
∵E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，∴HG∥OE，
直线的方向向量的求法求直线AB的方向向量，就是找与 平行的任意非零向量，因此可以在直线AB上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的方向向量.
　　　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证： 是直线GH的一个方向向量.
连接MO(图略)，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点，又M是PC的中点，∴MO∥PA.∵MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM.∵PA⊂平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH，∴PA∥GH，
直线方向向量的简单应用
　　　已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0，1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为
由O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，
且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，
问题3　在空间中，如何证明A，B，P三点共线？
连接AO，AC1，A1C1(图略)，
P，A，B三点共线的两种充要条件
若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得
(2)已知点A(2,1,3)，B(－1,3,1)，直线AB与平面yOz的交点C的坐标为__________.
1.知识清单： (1)直线的方向向量及其应用. (2)直线的向量表示. (3)点在直线上的充要条件.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：对直线的方向向量表示理解不到位而致误.
1.(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的方向向量是A.(2,2,6) B.(1,1,3)C.(3,1,1) D.(－3,0,1)
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的方向向量.
A.(－7,10,24) B.(7，－10，－24)C.(－6,8,24) D.(－5,6,24)
即B(－5,6,24).
3.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_______，直线BC1的一个方向向量为_________________.
(0,1,1)(答案不唯一)
故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
因为A，B，D三点共线，
所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2).因为e1，e2是空间两个不共线的向量，
1.已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于
∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，
2.已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是A.－1 B.1或－1C.－3 D.1
A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D
∴A，B，D三点共线.
4.已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
由∀λ∈R，a≠λb可知，a与b不共线，所以两条不同的直线m，n不平行，可能相交，也可能异面，所以“∀λ∈R，a≠λb”不是“直线m，n相交”的充分条件；由两条不同的直线m，n相交可知，a与b不共线，所以∀λ∈R，a≠λb，所以“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要条件，综上所述，“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要不充分条件.
设B点坐标为(x，y，z)，
即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
6.(多选)已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是A.0 B.3或－1C.－3 D.1
∴x＝±4.∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝－3或1.
8.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为____.
把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；
向量a，b反向，不符合题意，所以舍去.
设点B(x，y，z)，
解得x＝－1，y＝2，z＝6，∴点B的坐标为(－1,2,6).
A.(－4，－1，－6) B.(2,5,0)C.(3,4,1) D.(－3，－2，－5)
设Q(x，y，z)，则(x＋1，y－2，z＋3)＝3(1,1,1)或(x＋1，y－2，z＋3)＝－3(1,1,1)，
∴Q(2,5,0)或Q(－4，－1，－6).
12.若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n的值为A.0 B.－1 C.1 D.－2
所以m＝0，n＝0，则m＋n＝0.
13.已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(－2,3,6)，则以AB，AD为邻边的平行四边形的顶点D的坐标为________，过B点作AC的垂线，垂足为M，则M点的坐标为____________.
设D(x，y，z)，则(2,3，－1)＝(－2－x,3－y,6－z)，
∴D(－4,0,7)，
＝(－2λ，2＋λ，3＋3λ)，
即(－2λ－2,2＋λ－5,3＋3λ－2)·(－2,1,3)＝0，即－2(－2λ－2)＋λ－3＋3(1＋3λ)＝0，
连接AC，交BD于点O，连接OP，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝2，
16.如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是所在棱的中点.
求证：EF，GH，PQ相交于一点O，且O为它们的中点.
连接EH，GF，EG，HF(图略).因为E，G分别为AB，AC的中点，
所以EG綊HF.所以四边形EGFH为平行四边形，其对角线EF，GH相交于一点O，且O为它们的中点.连接OP，OQ，GP，HQ.
又因为O为GH的中点，