2021学年2.2 空间向量的运算课文配套ppt课件

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1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.
3.掌握空间向量的线性运算.
国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，接着还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图，那实际发生的位移是什么？又该如何表示呢？这就要用到空间向量的内容.
1.在空间中，把具有 和 的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的 或 .空间向量用有向线段表示，表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示.有向线段的方向表示向量的方向.
2.几类特殊的空间向量
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.(3)向量不能比较大小，模长可以.(4)共线向量不一定具备传递性，比如0.(5)空间中任意两个向量都是共面向量.
　　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是A.单位向量都相等B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
D.相等向量其方向必相同
A中，单位向量长度相等，方向不确定；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小.
(2)(多选)下列命题为真命题的是A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝pD.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行.
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
　　　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
问题　空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
提示　共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
(1)求向量和时，可以首尾相接(若为封闭图形，则和为0)，也可共起点；求向量差时，可以共起点.(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.
方法一(转化为加法运算)
方法二(转化为减法运算)
空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
　　　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
1.空间向量的数乘运算
2.定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
∵P是C1D1的中点，
延伸探究1.例3(1)的条件不变，试用a，b，c表示向量　　.
因为P，N分别是D1C1，BC的中点，
因为A，B，D三点共线，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b).
(1)利用数乘运算进行向量表示的技巧①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.(2)①三点共线可借助向量共线进行转化来证明.②特别注意利用向量共线推导三点共线必须要有公共点.
　　　(1)已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的投影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值.
(2)若P，A，B，C为空间四点，且有　　　　　　　，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
若A，B，C三点共线，
令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
1.知识清单：　　 (1)空间向量的相关概念. (2)空间向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)空间向量的线性运算的运算律. (4)共线向量基本定理的理解及应用.2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想、转化法.3.常见误区：(1)应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”， 而不是一个数. (2)利用共线向量基本定理解决三点共线问题忽视公共点.
1.(多选)下列命题中，真命题是A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等
容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且　　　　　　　　　，则四边形ABCD是A.平行四边形 B.空间四边形C.等腰梯形 D.矩形
∴四边形ABCD为平行四边形.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：
根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
1.下列说法中正确的是A.空间中共线的向量必在同一条直线上B.　　 　 的充要条件是A与C重合，B与D重合C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向D.在四边形ABCD中，一定有
对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；
对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；
综上可知，正确的为C.
2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是A.a＝b B.a＋b为实数0C.a与b方向相同 D.|a|＝3
向量a，b互为相反向量，则a，b的模相等，方向相反，故选D.
即(a－1)e1＋e2＝x(be1－2e2)，∵e1，e2是平面内两个不共线的向量，
6.(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有
综上，正确的有ABC.
根据空间向量的数乘运算法则可知，
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
因为M是BB1的中点，
因为|BM|＝2|MC′|，
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，
在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，
14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.
16.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.
如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，