数学选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题课文内容ppt课件

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1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
世界上最遥远的距离，不是树与树的距离，而是同根生长的树枝，却无法在风中相依.世界上最遥远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹.世界上最遥远的距离，不是星星没有交汇的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚.世界上最遥远的距离，是鱼与飞鸟的距离，一个翱翔天际，一个却深潜海底.其实距离有很多种的，心灵的距离、地理的距离、选择人生的距离，等等.同学们，今天我们就探讨一下数学中的距离！
问题　设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？
(2)如果直线a与平面α平行，在直线上任取一点P，可将直线与平面的距离转化为点P到平面α的距离求解.(3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
　　如图所示，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.求点A到平面FBD的距离.
设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设平面FBD的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得n＝(0，－2,1)，
用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.(3)求向量：求出相关向量的坐标( ，α内两不共线向量，平面α的法向量n).(4)求距离d＝ .(5)回归原题，写结论.
　　　如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平面AB1D1的距离为 ，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高.
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
取z＝1，得n＝(h，h,1)，
故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.
　　已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，Q是CE的中点.(1)求证：AE∥平面PFQ；
如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内过点A且垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.因为AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，E，F分别是BC，AC的中点，
因为AE与FQ无交点，所以AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ，所以AE∥平面PFQ.
(2)求AE与平面PFQ的距离.
由(1)知，AE∥平面PFQ，所以点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ的距离.设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
求直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离.
　　　如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.求直线AC到平面PEF的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面PEF的一个法向量n＝(x，y，z)，
令x＝2，则y＝2，z＝3，∴n＝(2,2,3)，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴AC∥EF，则直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离d＝______________.
平行线间的距离可转化为点到直线的距离.
　　在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离.
方法二　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，
用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量.(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.(4)回归原题，写出结论.
　　　如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离.
如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，
1.知识清单： (1)点到平面的距离与直线到平面的距离. (2)点到直线的距离.2.方法归纳：数形结合、转化法.3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础.
1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为
∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，
∴点A到直线BC的距离为
2.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是
分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
3.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，
设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y,1) ，
故m＝(1,1,1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离
4.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________.
1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为
又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，
2.已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为s＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为
由点到直线的距离公式得
3.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为
方法一　连接BD，AC交于点O(图略)，
4.已知三棱锥O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，
5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为
6.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是
则C(0,12,0)，D1(0,0,5).设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x>0).设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，
所以可取n＝(0,5,12).
因为B1C1∥平面A1BCD1，
7.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为________.
因为B1D1∥BD，B1D1⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1，所以B1D1∥平面BDC1，同理AD1∥平面BDC1，又B1D1∩AD1＝D1，
所以平面AB1D1∥平面BDC1，则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，B1(a，a，a)，D1(0,0，a)，
设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie na)，如图.已知在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______.
以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，C(0,2,0)，
由M为PC的中点可得M(1,1,1).
设n＝(x，y，z)为平面ABM的一个法向量，
9.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离.
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设E(x，y，z)，∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)，∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，
10.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点.(1)求点M到直线AC1的距离；
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
设平面MA1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，
12.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0