高中数学4.1 二项式定理的推导背景图课件ppt

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1.熟练掌握二项式定理.
2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.
3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.
4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题.
在江南醉仙楼，丘处机和被焦木邀约出头的江南七怪大打出手，最后发现是一场误会.丘处机道：“过得一十八年，孩子们都十八岁了，咱们再在嘉兴府醉仙楼头相会，大邀江湖上的英雄好汉，欢宴一场.酒酣耳热之余，让两个孩子比试武艺，瞧是贫道的徒弟高明呢，还是七侠的徒弟了得？”以上是金庸武侠剧《射雕英雄传》的一个情节.
旧时日、月和火、水、木、金、土五星合称七曜，分别用来称一个星期的七天，日曜日是星期天，月曜日是星期一，其余依此类推.火曜日是星期二，水曜日是星期三，木曜日是星期四，金曜日是星期五，土曜日是星期六.假如丘处机立约之日是月曜日(星期一)，18年(约6 570天)后比武之日是什么曜日(星期几)？82 022天后是什么曜日(星期几)？今天我们一起探讨怎样快速准确地得到答案.
两个多项式乘积的特定项
　　(1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为A.10 B.－10 C.2 D.－2
(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
　　　(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为A.12 B.16 C.20 D.24
方法二　∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.
(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为_____.(用数字作答)
即n2＋n－156＝0.解得n＝－13(舍去)或n＝12.设Tk＋1项的系数最大，
解得9.4≤k≤10.4.
又∵0≤k≤12，k∈N，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项是第11项，
求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解.一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项.
设第Tk＋1项的系数最大，
∵0≤k≤10，k∈N，∴k＝7，∴展开式中系数最大的项为
2 01910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.
　　(1)试求2 01910除以8的余数；
32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除.
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.
　　　求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除.
原式＝4·6n＋5n－4＝4(5＋1)n＋5n－4
以上各项均为25的整数倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除.
1.知识清单： (1)两个多项式乘积的特定项. (2)系数的最值问题. (3)整除与余数问题.2.方法归纳：双通法.3.常见误区：项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析.
A.25 B.－25 C.5 D.－5
令6－2k＝－2或6－2k＝0，分别解得k＝4或k＝3.
2.(1－2x)5的展开式中系数最大的项是A.第3项 B.第4项C.第5项 D.第6项
故k＝4时，即第5项是展开式中的系数最大的项.
(x＋1)4(x－1)的展开式中含x3的项由以下两部分相加得到：
3.(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是_____.
②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1，
所以(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2.
4.230－3除以7的余数为____.
230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3
又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.
A.－3 B.－2 C.2 D.3
令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.
A.－6 B.－3C.0 D.3
的近似值(精确到0.01)为
4.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是A.56 B.84 C.112 D.168
所以x2y2的系数为28×6＝168.
A.0 B.8 C.7 D.2
A.x3的系数为40 B.x3的系数为32C.常数项为16 D.常数项为8
所以含x3的系数是8＋32＝40；展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16.
7.已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的系数为－2，则a＝_____.
则a3＝8，解得a＝2.
8.(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为______.
方法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
方法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.
9.用二项式定理证明1110－1能被100整除.
1110－1＝(10＋1)10－1
显然上式括号内的数是正整数，所以1110－1能被100整除.
设展开式中第k＋1项的系数最大，
又因为0≤k≤5，k∈N，所以k＝4，所以展开式中第5项系数最大.
A.0 B.2 C.7 D.8
所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.
512 020＋a＝(13×4－1)2 020＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得当a＝12时，512 020＋a能被13整除.
13.设a∈Z，且0≤a＜13，若512 020＋a能被13整除，则a等于A.0 B.1 C.11 D.12
A.2 021 B.2 022C.2 023 D.2 024
即a除以10的余数为1，因为a≡b(md 10)，所以b的值除以10的余数也为1，观察选项，只有2 021除以10的余数为1，则b的值可以是2 021.
15.已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N＋)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值为______.
∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n
∴当n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.
16.求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数.
方法一　(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8，
则x5的系数由(x＋x2)r来决定，
方法三　(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)…(1＋x＋x2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三个：