新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第六章 3.1 离散型随机变量的均值

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3.1　离散型随机变量的均值第六章　§3　离散型随机变量的均值与方差学习目标1.通过实例理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题.导语某公司对应聘者A，B，C，D进行面试，并按专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，最后打分的结果如下表所示.如果你是人事主管，会录用哪一名应聘者？请同学们讨论.小明说：看谁的总分高就录用谁.通过计算可以发现D的总分数最高，应录用D；小颖说：我有不同意见.三个方面满分都是20分不合理，按理说这三个方面的重要性应该有所不同，比如专业知识就比仪表形象更重要，应该对三方面给出一定的权重.小颖的发言博得全班绝大多数的赞同.导语探究：假设专业知识、工作经验、仪表形象的权重分别为6∶3∶1，那么应该录用谁呢？通过今天的学习，我们一起来寻找答案！内容索引离散型随机变量的均值 一问题1　某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的分布列吗？ξ的分布列为知识梳理1.设离散型随机变量X的分布列为则称EX＝______________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称______).均值EX刻画的是X取值的“__________”.2.随机变量X服从两点分布，则EX＝__________________.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn期望中心位置0×(1－p)＋1×p＝p1.分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平.2.随机变量的分布完全确定了它的均值，两个不同的分布可以有相同的均值.注意点：　　袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值.取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8，故X的分布列为求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).(3)写出X的分布列.(4)利用均值的定义EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求EX.反思感悟　　　某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为 ，且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6.∴X的分布列为均值的简单应用 二问题2　若X，Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么EY与EX有怎样的关系？提示　X，Y的分布列为于是EY＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aEX＋b.知识梳理离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数，则Y也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝________.aEX＋b　　已知随机变量X的分布列为若Y＝－2X，则EY＝_____.由离散型随机变量分布列的性质，得由Y＝－2X，得EY＝－2EX，延伸探究1.本例条件不变，若Y＝2X－3，求EY.所以a＝15.反思感悟求线性关系的随机变量Y＝aX＋b的均值方法(1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值.(2)性质法：直接套用公式，EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b，求解即可.　　　(1)设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则Eη等于√(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为√因为η＝12ξ＋7，则Eη＝12Eξ＋7，均值的实际应用 三　　甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：乙公司送餐员送餐单数频数表：若将频率视为概率，回答下列两个问题：(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；设乙公司送餐员送餐单数为a，故X的所有可能取值为228,234,240,247,254，故X的分布列为(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.甲公司送餐员送餐单数频数表：乙公司送餐员送餐单数频数表：甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)，因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8EX2，∴应该生产甲品牌轿车.课堂小结1.知识清单： (1)离散型随机变量的均值. (2)两点分布的均值. (3)E(aX＋b)＝aEX＋b.2.方法归纳：函数与方程、转化化归.3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析.随堂演练 1234√1.已知离散型随机变量X的分布列为则X的均值EX等于12342.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为A.0 B. C.1 D.－1√12343.设随机变量X的分布列如下表，且EX＝1.6，则a－b等于A.0.2 B.0.1 C.－0.2 D.－0.4√由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.又由EX＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.12344.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，EX＝3，则a＋b等于√易知EX＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3. ①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1， ②课时对点练 A.4 B.5 C.6 D.7123456789101112131415161.已知某一随机变量X的分布列如表所示，若EX＝6.3，则a的值为√根据分布列的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又EX＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.123456789101112131415162.袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则EX等于√由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.123456789101112131415163.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为√X＝2,3，123456789101112131415164.一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是√123456789101112131415165.某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则EX等于A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4√12345678910111213141516设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市和B市都不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8 (舍去)，P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，∴EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.123456789101112131415166.已知随机变量ξ的分布列如表所示，则Eξ的最大值是√1234567891011121314151612345678910111213141516经检验符合题意.123456789101112131415167.一个质地均匀的小正方体，它的6个面中有三个面上标着数字1，另两个面上标着数字2，还有一个面上标着数字3，现将此正方体任意抛掷2次，记向上的面上数字之和为ξ，则Eξ＝______.12345678910111213141516由题意可得，ξ的可能取值为2,3,4,5,6，12345678910111213141516123456789101112131415168.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元.若Y表示经销一件该商品的利润，则EY＝_____元.13012345678910111213141516由题意可知Y可以取100,150,200，分布列为∴EY＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元).123456789101112131415169.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止.求：(1)抽取次数X的分布列；12345678910111213141516X的可能取值为1,2,3，所以抽取次数X的分布列为12345678910111213141516(2)随机变量X的均值.由均值的定义得1234567891011121314151610.某人有20万元，准备用于投资房地产或购买股票，若根据下面的盈利表进行决策，应选择哪种方案？12345678910111213141516设购买股票的盈利为X，投资房地产的盈利为Y，则EX＝10×0.3＋3×0.5＋(－10)×0.2＝3＋1.5－2＝2.5，EY＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6，因为EY＞EX，所以投资房地产的平均盈利较高，故选择投资房地产.1234567891011121314151611.若离散型随机变量X的分布列为则X的均值EX等于√12345678910111213141516解得a＝1.1234567891011121314151612.若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为A.无法确定 B.0C.EX D.2EX√∵E(aX＋b)＝aEX＋b，而EX为常数，∴E(X－EX)＝EX－EX＝0.1234567891011121314151613.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数的均值为A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4√12345678910111213141516记命中后剩余子弹数为ξ，则ξ可能取值为0,1，2,3，则P(ξ＝0)＝0.44＋0.43×0.6＝0.064，P(ξ＝1)＝0.42×0.6＝0.096，P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P(ξ＝3)＝0.6.∴Eξ＝0×0.064＋0.096×1＋0.24×2＋0.6×3＝2.376.1234567891011121314151614.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数为ξi(i＝1,2)，则Eξ1＋Eξ2的值为______.12345678910111213141516甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1,2，甲盒中含有红球的个数ξ2的值为1,2,3，123456789101112131415161234567891011121314151615.(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值EX>1.75，则p的取值可以为√√12345678910111213141516根据题意知，X的所有的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，则EX＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有EX>1.75，则p2－3p＋3>1.75，结合选项可知AB正确.16.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该品种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：12345678910111213141516这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；12345678910111213141516所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值.1234567891011121314151612345678910111213141516先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可.记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.12345678910111213141516故所求Y的分布列为12345678910111213141516因此，所求年收获量Y的均值为